- Enuncie o teorema do valor médio.
Passo 1
O enunciado pede: enunciar o Teorema do Valor Médio.
Informações relevantes a fornecer na enunciação (o que o enunciado deve conter):
Informações relevantes a fornecer na enunciação (o que o enunciado deve conter):
- As hipóteses necessárias sobre a função e o intervalo (quais condições a função precisa satisfazer e em que intervalo).
- A conclusão precisa e matemática do teorema (o que existe e qual igualdade é satisfeita).
Não há mais dados numéricos — é só formular corretamente hipóteses e conclusão.
Passo 2
Enuncie formalmente o teorema (versão clássica):
Seja uma função tal que
é contínua em
e diferenciável em
com
. Então existe pelo menos um ponto
tal que
Seja
Passo 3
Explique com calma o que cada parte significa (para ficar seguro na prova).
- Hipótese de continuidade em
: quer dizer que não tem saltos, buracos ou assíntotas no intervalo fechado . Em particular, pela propriedade dos extremos, uma função contínua em um intervalo fechado atinge mínimo e máximo nesse intervalo. - Hipótese de diferenciabilidade em
: quer dizer que a derivada existe para todo estritamente entre e — ou seja, a curva tem tangente bem definida em todos os pontos internos. Note: diferenciabilidade implica continuidade em cada ponto interior. - Conclusão: existe um
interior onde a derivada (a inclinação da tangente) é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos e . Geometricamente: em algum ponto a tangente é paralela à reta que une os extremos do intervalo.
Passo 4
Mostre uma ferramenta útil que usamos para provar o Teorema do Valor Médio: o Teorema de Rolle (declaração e prova curta).
Declaração de Rolle:
Se é contínua em
, diferenciável em
e
, então existe
tal que
.
Declaração de Rolle:
Se
Prova (passo a passo, simples):
- Como
é contínua em , ela atinge mínimo e máximo nesse intervalo. - Se
é constante em , então para todo e o teorema está provado. - Caso contrário, o máximo ou o mínimo é atingido em algum ponto
interior (pois se ambos extremos fossem extremos globais iguais, como , e a função não for constante, pelo menos um extremo ocorre no interior). - Se
é um máximo local (ou mínimo local), então pela definição de derivada a partir de limites laterais, necessariamente . (Intuição: subida à esquerda e descida à direita — taxas opostas que fazem derivada nula.) - Logo existe
com . QED.
Passo 5
Prova do Teorema do Valor Médio usando Rolle (passo a passo).
- Defina a reta secante que passa por
e . A inclinação dessa reta é
- Considere a função auxiliar
(ou, alternativamente,
; ambas as escolhas só diferem por constante e servem igual.)
3. Verifique satisfaz as hipóteses de Rolle:
3. Verifique
-
é contínua em e diferenciável em porque tem essas propriedades e é polinomial (logo sempre contínuo e diferenciável). - Calcule
e :
pela definição de
. Portanto
.
4. Pelo Teorema de Rolle, existe tal que
.
5. Mas . Logo
implica
4. Pelo Teorema de Rolle, existe
5. Mas
que é exatamente a conclusão do Teorema do Valor Médio. QED.
Passo 6
Exemplos práticos para fixar (como usar na prova).
- Exemplo 1 (fácil):
em .
Cálculo:. Derivada: . Igualando obtemos . Portanto existe com a propriedade (e aqui é único). - Exemplo 2 (reta):
em qualquer . A inclinação secante é e para todo . Então qualquer serve. - Contra-exemplo (quando hipóteses falham):
em . Aqui é contínua em e , mas não é diferenciável em . Observa-se que não existe com . Isso mostra que a diferenciabilidade é condição essencial.
Passo 7
Consequências úteis e dicas de prova (pra usar na hora da prova):
- Corolário prático: se
para todo , então é constante em . (Aplicar TVM entre quaisquer e .) - Se
para todo , então é estritamente crescente em . (Pegar e aplicar TVM: a diferencia positiva implica .) - Na prova de um exercício: sempre verifique as hipóteses (continuidade em
e diferenciabilidade em ) antes de afirmar a existência de . Em muitos exercícios a aplicabilidade do TVM se resume a resolver a equação . - Às vezes o teorema garante existência sem fornecer fórmula fechada para
; então diga “existe ” e, se necessário, explique porque não é possível encontrar explicitamente com a informação dada.
Resposta
Seja
contínua em
e diferenciável em
com
. Então existe
tal que