1. Enuncie o teorema do valor médio.

Passo 1

O enunciado pede: enunciar o Teorema do Valor Médio.
Informações relevantes a fornecer na enunciação (o que o enunciado deve conter):
  • As hipóteses necessárias sobre a função e o intervalo (quais condições a função precisa satisfazer e em que intervalo).
  • A conclusão precisa e matemática do teorema (o que existe e qual igualdade é satisfeita).
    Não há mais dados numéricos — é só formular corretamente hipóteses e conclusão.

Passo 2

Enuncie formalmente o teorema (versão clássica):
Seja f uma função tal que f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) com a<b. Então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Passo 3

Explique com calma o que cada parte significa (para ficar seguro na prova).
  • Hipótese de continuidade em [a,b]: quer dizer que f não tem saltos, buracos ou assíntotas no intervalo fechado [a,b]. Em particular, pela propriedade dos extremos, uma função contínua em um intervalo fechado atinge mínimo e máximo nesse intervalo.
  • Hipótese de diferenciabilidade em (a,b): quer dizer que a derivada f'(x) existe para todo x estritamente entre a e b — ou seja, a curva tem tangente bem definida em todos os pontos internos. Note: diferenciabilidade implica continuidade em cada ponto interior.
  • Conclusão: existe um c interior onde a derivada (a inclinação da tangente) é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). Geometricamente: em algum ponto a tangente é paralela à reta que une os extremos do intervalo.

Passo 4

Mostre uma ferramenta útil que usamos para provar o Teorema do Valor Médio: o Teorema de Rolle (declaração e prova curta).
Declaração de Rolle:
Se g é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e g(a)=g(b), então existe c\in(a,b) tal que g'\text{(c)}=0.
Prova (passo a passo, simples):
  1. Como g é contínua em [a,b], ela atinge mínimo e máximo nesse intervalo.
  2. Se g é constante em [a,b], então g'(x)=0 para todo x\in(a,b) e o teorema está provado.
  3. Caso contrário, o máximo ou o mínimo é atingido em algum ponto c interior (a,b) (pois se ambos extremos fossem extremos globais iguais, como g(a)=g(b), e a função não for constante, pelo menos um extremo ocorre no interior).
  4. Se c é um máximo local (ou mínimo local), então pela definição de derivada a partir de limites laterais, necessariamente g'\text{(c)}=0. (Intuição: subida à esquerda e descida à direita — taxas opostas que fazem derivada nula.)
  5. Logo existe c\in(a,b) com g'\text{(c)}=0. QED.

Passo 5

Prova do Teorema do Valor Médio usando Rolle (passo a passo).
  1. Defina a reta secante que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)). A inclinação dessa reta é
m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
  1. Considere a função auxiliar
h(x)=f(x)-m\,x.
(ou, alternativamente, h(x)=f(x)-\bigl(f(a)+m(x-a)\bigr); ambas as escolhas só diferem por constante e servem igual.)
3. Verifique h satisfaz as hipóteses de Rolle:
  • h é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) porque f tem essas propriedades e m\,x é polinomial (logo sempre contínuo e diferenciável).
  • Calcule h(a) e h(b):
h(b)-h(a)=\bigl(f(b)-m b\bigr)-\bigl(f(a)-m a\bigr)=f(b)-f(a)-m(b-a)=0,
pela definição de m. Portanto h(a)=h(b).
4. Pelo Teorema de Rolle, existe c\in(a,b) tal que h'\text{(c)}=0.
5. Mas h'(x)=f'(x)-m. Logo h'\text{(c)}=0 implica
f'\text{(c)}=m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},
que é exatamente a conclusão do Teorema do Valor Médio. QED.

Passo 6

Exemplos práticos para fixar (como usar na prova).
  • Exemplo 1 (fácil): f(x)=x^2 em [0,2].
    Cálculo: \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{4-0}{2-0}=2. Derivada: f'(x)=2x. Igualando 2x=2 obtemos x=1. Portanto existe c=1 com a propriedade (e aqui é único).
  • Exemplo 2 (reta): f(x)=3x+1 em qualquer [a,b]. A inclinação secante é 3 e f'(x)=3 para todo x. Então qualquer c\in(a,b) serve.
  • Contra-exemplo (quando hipóteses falham): f(x)=|x| em [-1,1]. Aqui f é contínua em [-1,1] e f(-1)=f(1), mas f não é diferenciável em 0. Observa-se que não existe c\in(-1,1) com f'\text{(c)}=0. Isso mostra que a diferenciabilidade é condição essencial.

Passo 7

Consequências úteis e dicas de prova (pra usar na hora da prova):
  • Corolário prático: se f'(x)=0 para todo x\in(a,b), então f é constante em [a,b]. (Aplicar TVM entre quaisquer a e b.)
  • Se f'(x)>0 para todo x\in(a,b), então f é estritamente crescente em [a,b]. (Pegar a<b e aplicar TVM: a diferencia positiva implica f(b)-f(a)>0.)
  • Na prova de um exercício: sempre verifique as hipóteses (continuidade em [a,b] e diferenciabilidade em (a,b)) antes de afirmar a existência de c. Em muitos exercícios a aplicabilidade do TVM se resume a resolver a equação f'(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.
  • Às vezes o teorema garante existência sem fornecer fórmula fechada para c; então diga “existe c\in(a,b)” e, se necessário, explique porque não é possível encontrar explicitamente com a informação dada.

Resposta

Seja f contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) com a<b. Então existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

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