Encontre o lugar geométrico dos pontos
no plano complexo que satisfazem a equação
. Descreva qual figura geométrica é formada e determine seu centro e raio.
Passo 1
O enunciado dá a equação
para o número complexo
. As perguntas são:
- Qual é a figura geométrica formada pelo conjunto dos pontos
que satisfazem essa equação? - Qual é o centro dessa figura?
- Qual é o seu raio?
Informações dadas que vamos usar:
-
com reais. - A condição
.
Passo 2
Lembrete sobre módulo (distância) de um número complexo: se
, então o módulo de
é
Isto vem do Teorema de Pitágoras: a distância do ponto
ao origem
é
. Em geometria complexa,
é exatamente essa distância no plano.
Passo 3
Vamos escrever
em termos de
e
. Como
, temos
Isto significa que subtrair
desloca a componente imaginária de
em
.
Passo 4
Agora aplicamos a definição do módulo ao número
:
A equação dada é
. Como ambos os lados são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar as soluções:
Passo 5
A equação
é a equação padrão de uma circunferência no plano cartesiano. A forma geral de uma circunferência é
onde
é o centro e
é o raio. Comparando, obtemos:
- centro
, - raio
.
No plano complexo, o centro corresponde ao número complexo
, isto é,
.
Passo 6
Verificação com exemplos simples (para fixar a ideia):
- Para
(ponto ), temos e — está na circunferência. - Para
(ponto ), temos e — também está. - Para
(ponto ), temos e — também está.
Passo 7
Resumo intuitivo: a equação
pede todos os pontos cuja distância ao ponto
(ou seja, ao ponto
) é
. Isso sempre descreve uma circunferência de centro em
e raio
. Boa dica para a prova: sempre pense em
como a circunferência de centro
e raio
.
Resposta
Figura geométrica: circunferência.
Centro: (ou
).
Raio: .
Centro:
Raio: