Encontre o lugar geométrico dos pontos z=x+y i no plano complexo que satisfazem a equação |z-2 i|=3. Descreva qual figura geométrica é formada e determine seu centro e raio.

Passo 1

O enunciado dá a equação |z-2 i|=3 para o número complexo z=x+y i. As perguntas são:
  • Qual é a figura geométrica formada pelo conjunto dos pontos z que satisfazem essa equação?
  • Qual é o centro dessa figura?
  • Qual é o seu raio?
Informações dadas que vamos usar:
  • z=x+y i com x,y reais.
  • A condição |z-2 i|=3.

Passo 2

Lembrete sobre módulo (distância) de um número complexo: se z=x+y i, então o módulo de z é
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isto vem do Teorema de Pitágoras: a distância do ponto (x,y) ao origem (0,0) é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em geometria complexa, |z| é exatamente essa distância no plano.

Passo 3

Vamos escrever z-2 i em termos de x e y. Como z=x+y i, temos
z-2 i = x + y i - 2 i = x + i(y-2).
Isto significa que subtrair 2i desloca a componente imaginária de z em -2.

Passo 4

Agora aplicamos a definição do módulo ao número z-2 i:
|z-2 i| = \sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}.
A equação dada é |z-2 i|=3. Como ambos os lados são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar as soluções:
\bigl(|z-2 i|\bigr)^{2} = 3^{2}
x^{2}+(y-2)^{2} = 9.

Passo 5

A equação
x^{2}+(y-2)^{2}=9
é a equação padrão de uma circunferência no plano cartesiano. A forma geral de uma circunferência é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},
onde (a,b) é o centro e r é o raio. Comparando, obtemos:
  • centro (a,b)=(0,2),
  • raio r=3.
No plano complexo, o centro corresponde ao número complexo 0+2 i, isto é, 2 i.

Passo 6

Verificação com exemplos simples (para fixar a ideia):
  • Para z=3+2 i (ponto (3,2)), temos z-2 i=3 e |z-2 i|=|3|=3 — está na circunferência.
  • Para z=0+5 i (ponto (0,5)), temos z-2 i=3 i e |z-2 i|=|3 i|=3 — também está.
  • Para z=0- i (ponto (0,-1)), temos z-2 i=-3 i e |z-2 i|=3 — também está.

Passo 7

Resumo intuitivo: a equação |z-2 i|=3 pede todos os pontos cuja distância ao ponto 2 i (ou seja, ao ponto (0,2)) é 3. Isso sempre descreve uma circunferência de centro em 2 i e raio 3. Boa dica para a prova: sempre pense em |z-z_{0}|=r como a circunferência de centro z_{0} e raio r.

Resposta

Figura geométrica: circunferência.
Centro: 2 i (ou (0,2)).
Raio: 3.

Exercícios relacionados