Calcule a distância geométrica entre os pontos afixos dos números complexos z_{1}=4+6 i e z_{2}=1+2 i no plano de Argand-Gauss. Mostre como essa distância equivale ao cálculo de \left|z_{1}-z_{2}\right|.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos z_{1}=4+6i e z_{2}=1+2i e pede duas coisas: (1) calcular a distância geométrica entre os pontos afixos desses números no plano de Argand-Gauss; (2) mostrar que essa distância é igual a \left|z_{1}-z_{2}\right|. Informações fornecidas:
  • z_{1}=4+6i.
  • z_{2}=1+2i.
    As perguntas são exatamente essas (distância geométrica entre os afixos e equivalência com o módulo da diferença).

Passo 2

Lembrete geométrico básico (passo-a-passo, sem pular): cada número complexo \,x+iy corresponde ao ponto (x,y) no plano. Portanto:
  • O afixo de z_{1}=4+6i é o ponto (4,6).
  • O afixo de z_{2}=1+2i é o ponto (1,2).
    Isto significa que, geometricamente, queremos a distância entre os pontos (4,6) e (1,2).

Passo 3

Fórmula da distância euclidiana em coordenadas planas: a distância entre dois pontos (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}) é
\text{dist}=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}.
Aplicando aos nossos pontos (4,6) e (1,2):
\text{dist}=\sqrt{(4-1)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}.
Calculemos:
\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Logo, a distância geométrica entre os afixos é 5.

Passo 4

Agora mostro por que essa distância coincide com \left|z_{1}-z_{2}\right|. Primeiro calcule a diferença:
z_{1}-z_{2}=(4+6i)-(1+2i)=(4-1)+i(6-2)=3+4i.
A definição do módulo (valor absoluto) de um número complexo a+ib é
|a+ib|=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
onde a é a parte real e b a parte imaginária. No nosso caso a=3 e b=4, então
\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|3+4i\right|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5.

Passo 5

Interpretação final e equivalência clara: se escrevemos z_{1}=x_{1}+iy_{1} e z_{2}=x_{2}+iy_{2}, então
z_{1}-z_{2}=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})
e
\left|z_{1}-z_{2}\right|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}},
que é exactamente a fórmula da distância euclidiana entre os pontos (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}). Ou seja, em geral a distância entre afixos de z_{1} e z_{2} é \left|z_{1}-z_{2}\right|. No caso dado o valor numérico é 5.

Resposta

5

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