Calcule a distância geométrica entre os pontos afixos dos números complexos
e
no plano de Argand-Gauss. Mostre como essa distância equivale ao cálculo de
.
Passo 1
O enunciado dá os números complexos
e
e pede duas coisas: (1) calcular a distância geométrica entre os pontos afixos desses números no plano de Argand-Gauss; (2) mostrar que essa distância é igual a
. Informações fornecidas:
-
. -
.
As perguntas são exatamente essas (distância geométrica entre os afixos e equivalência com o módulo da diferença).
Passo 2
Lembrete geométrico básico (passo-a-passo, sem pular): cada número complexo
corresponde ao ponto
no plano. Portanto:
- O afixo de
é o ponto . - O afixo de
é o ponto .
Isto significa que, geometricamente, queremos a distância entre os pontose .
Passo 3
Fórmula da distância euclidiana em coordenadas planas: a distância entre dois pontos
e
é
Aplicando aos nossos pontos
e
:
Calculemos:
Logo, a distância geométrica entre os afixos é
.
Passo 4
Agora mostro por que essa distância coincide com
. Primeiro calcule a diferença:
A definição do módulo (valor absoluto) de um número complexo
é
onde
é a parte real e
a parte imaginária. No nosso caso
e
, então
Passo 5
Interpretação final e equivalência clara: se escrevemos
e
, então
e
que é exactamente a fórmula da distância euclidiana entre os pontos
e
. Ou seja, em geral a distância entre afixos de
e
é
. No caso dado o valor numérico é
.
Resposta
5