Converta o número complexo z=-2 \sqrt{3}+2 i para a forma polar z=r(\cos \theta+i \sin \theta). Represente z no plano complexo, indicando claramente seu módulo ( r ) e seu argumento principal ( \theta ).
Passo 1
O enunciado dá o número complexo z = -2\sqrt{3} + 2i e pede:
Converter z para a forma polar z = r(\cos\theta + i\sin\theta).
Representar z no plano complexo, indicando claramente o módulo r e o argumento principal \theta.
Informações relevantes fornecidas:
Parte real: x = -2\sqrt{3}.
Parte imaginária: y = 2.
Quer-se o módulo r e o argumento principal \theta (no intervalo (-\pi,\pi] normalmente).
Passo 2
Calcular o módulo r.
Definição (aula curta): o módulo de um número complexo z = x+iy é a distância do ponto (x,y) até a origem no plano complexo e é dado por
Interpretação intuitiva: isso quer dizer que o ponto representando z está a uma distância 4 da origem.
Passo 3
Calcular o argumento principal \theta.
Definição (aula curta): o argumento \theta de z=x+iy é o ângulo que o vetor posição forma com o eixo real positivo. Uma relação útil é
\tan\theta = \frac{y}{x},
porém a função \arctan dá um ângulo de referência em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), então é preciso ajustar \theta conforme o quadrante onde (x,y) está.
Aqui temos x = -2\sqrt{3}<0 e y=2>0, logo o ponto está no segundo quadrante (quadrante II). No quadrante II os ângulos principais têm a forma \theta = \pi - \alpha, onde \alpha é o ângulo de referência (positivo).
Sabemos que \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)=\tfrac{\pi}{6} (pois \tan\!\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}). Portanto a referência é \alpha=\tfrac{\pi}{6}.
Representação geométrica no plano complexo (descrição para desenhar).
Coordenadas do ponto: \bigl(-2\sqrt{3},\,2\bigr) (peguei estes valores do enunciado).
O ponto fica no segundo quadrante (à esquerda do eixo imaginário e acima do eixo real).
A distância do ponto até a origem é r=4.
O ângulo formado com o eixo real positivo é \theta=\tfrac{5\pi}{6} (ou 150^\circ).
Como desenhar rápido: trace os eixos, marque o ponto com coordenadas x\approx-3{,}464 e y=2, ou desenhe um vetor de comprimento 4 saindo da origem fazendo um ângulo de 150^\circ com o eixo real positivo; rotule r=4 ao longo do vetor e \theta=\tfrac{5\pi}{6} no ângulo entre o eixo real positivo e o vetor.
Resposta
z = 4\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{6} + i\sin\tfrac{5\pi}{6}\bigr)