Converta o número complexo z=-2 \sqrt{3}+2 i para a forma polar z=r(\cos \theta+i \sin \theta). Represente z no plano complexo, indicando claramente seu módulo ( r ) e seu argumento principal ( \theta ).

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z = -2\sqrt{3} + 2i e pede:
  • Converter z para a forma polar z = r(\cos\theta + i\sin\theta).
  • Representar z no plano complexo, indicando claramente o módulo r e o argumento principal \theta.
Informações relevantes fornecidas:
  • Parte real: x = -2\sqrt{3}.
  • Parte imaginária: y = 2.
  • Quer-se o módulo r e o argumento principal \theta (no intervalo (-\pi,\pi] normalmente).

Passo 2

Calcular o módulo r.
Definição (aula curta): o módulo de um número complexo z = x+iy é a distância do ponto (x,y) até a origem no plano complexo e é dado por
r = |z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde x é a parte real e y a parte imaginária.
Aplicando ao caso:
x = -2\sqrt{3},\qquad y = 2.
Calculemos as quadraturas:
x^{2} = \bigl(-2\sqrt{3}\bigr)^{2} = 4\cdot 3 = 12,
y^{2} = 2^{2} = 4.
Soma:
x^{2}+y^{2} = 12+4 = 16.
Logo
r = \sqrt{16} = 4.
Interpretação intuitiva: isso quer dizer que o ponto representando z está a uma distância 4 da origem.

Passo 3

Calcular o argumento principal \theta.
Definição (aula curta): o argumento \theta de z=x+iy é o ângulo que o vetor posição forma com o eixo real positivo. Uma relação útil é
\tan\theta = \frac{y}{x},
porém a função \arctan dá um ângulo de referência em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), então é preciso ajustar \theta conforme o quadrante onde (x,y) está.
Aqui temos x = -2\sqrt{3}<0 e y=2>0, logo o ponto está no segundo quadrante (quadrante II). No quadrante II os ângulos principais têm a forma \theta = \pi - \alpha, onde \alpha é o ângulo de referência (positivo).
Calcule a tangente do ângulo de referência:
\left|\frac{y}{x}\right| = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.
Sabemos que \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)=\tfrac{\pi}{6} (pois \tan\!\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}). Portanto a referência é \alpha=\tfrac{\pi}{6}.
Como estamos no quadrante II,
\theta = \pi - \alpha = \pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{5\pi}{6}.
Em graus isso é \theta = 150^\circ. Assim o argumento principal é \theta = \tfrac{5\pi}{6}.

Passo 4

Escrever z na forma polar e verificar.
A forma polar é
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr).
Substituindo r=4 e \theta=\tfrac{5\pi}{6},
z = 4\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{6} + i\sin\tfrac{5\pi}{6}\bigr).
Verificação dos valores de cosseno e seno:
\cos\tfrac{5\pi}{6} = -\cos\tfrac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\tfrac{5\pi}{6} = \sin\tfrac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.
Multiplicando por 4:
4\cos\tfrac{5\pi}{6} = 4\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2\sqrt{3},
4\sin\tfrac{5\pi}{6} = 4\cdot\frac{1}{2} = 2.
Portanto
4\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{6}+i\sin\tfrac{5\pi}{6}\bigr) = -2\sqrt{3} + 2i,
que coincide com z. Está tudo certo.

Passo 5

Representação geométrica no plano complexo (descrição para desenhar).
Coordenadas do ponto: \bigl(-2\sqrt{3},\,2\bigr) (peguei estes valores do enunciado).
  • O ponto fica no segundo quadrante (à esquerda do eixo imaginário e acima do eixo real).
  • A distância do ponto até a origem é r=4.
  • O ângulo formado com o eixo real positivo é \theta=\tfrac{5\pi}{6} (ou 150^\circ).
    Como desenhar rápido: trace os eixos, marque o ponto com coordenadas x\approx-3{,}464 e y=2, ou desenhe um vetor de comprimento 4 saindo da origem fazendo um ângulo de 150^\circ com o eixo real positivo; rotule r=4 ao longo do vetor e \theta=\tfrac{5\pi}{6} no ângulo entre o eixo real positivo e o vetor.

Resposta

z = 4\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{6} + i\sin\tfrac{5\pi}{6}\bigr)
r = 4
\theta = \tfrac{5\pi}{6}

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