Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo. Para resolver, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular do lado não homogêneo. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares e conhecer um pouco sobre funções hiperbólicas como o cosseno hiperbólico
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), fica:
Essa é uma equação quadrática em
.
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
da equação completa
. Sabemos que
pode ser expresso como:
Portanto, tentaremos uma solução particular na forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.