Resolva as equações: p y'' - y' - 2 y = cosh(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo. Para resolver, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular do lado não homogêneo. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares e conhecer um pouco sobre funções hiperbólicas como o cosseno hiperbólico .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo tudo por (que nunca é zero), fica:
Essa é uma equação quadrática em .

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Sabemos que pode ser expresso como:
Portanto, tentaremos uma solução particular na forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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