Encontre D_{\mathrm{u}} f em P.
f(x, y)=\ln \left(1+x^{2}+y\right) ; P(0,0);
\mathbf{u}=-\frac{1}{\sqrt{10}} \mathbf{i}-\frac{3}{\sqrt{10}} \mathbf{j}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função dada é f(x,y)=\ln\!\bigl(1+x^{2}+y\bigr).
  • O ponto onde queremos a derivada direcional é P(0,0).
  • O vetor direção dado é \mathbf{u}=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\mathbf{i}-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\mathbf{j}.
O enunciado pede: encontrar D_{\mathbf{u}}f em P (a derivada direcional de f no ponto P na direção \mathbf{u}).

Passo 2

Verificar se \mathbf{u} é um vetor unitário (isso é importante porque a definição comum de derivada direcional usa vetor unitário).
Calcular a norma de \mathbf{u}:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)^{2}+\left(-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^{2}} =\sqrt{\dfrac{1}{10}+\dfrac{9}{10}} =\sqrt{\dfrac{10}{10}} =\sqrt{1}=1.
Portanto \mathbf{u} é unitário. Bom sinal — podemos usar diretamente a fórmula D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.

Passo 3

Explicar e calcular as derivadas parciais de f.
Regra que vou usar: se g(x,y) é uma função e f=\ln(g), então a derivada parcial de f em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x},
pois a derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t (regra da cadeia).
Aqui g(x,y)=1+x^{2}+y. Então
\frac{\partial g}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=1.
Aplicando a fórmula:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x}{1+x^{2}+y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{1+x^{2}+y}.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto P(0,0).
Substituindo x=0 e y=0 nas expressões:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{2\cdot 0}{1+0^{2}+0}=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\frac{1}{1+0^{2}+0}=1.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(0,0)=\left(0,\;1\right).

Passo 5

Lembrar a relação entre derivada direcional e gradiente (e justificar rapidamente).
Definição (em forma intuitiva): a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\lim_{h\to 0}\frac{f(P+h\mathbf{u})-f(P)}{h}.
Se f for diferenciável em P (o que ocorre aqui, pois f é composição de funções suaves em ponto interior do domínio), então pela regra da cadeia ao considerar a função unidimensional \varphi(h)=f(P+h\mathbf{u}) tem-se
\varphi'(0)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
ou seja
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Assim basta fazer o produto escalar entre \nabla f(0,0) e \mathbf{u}.

Passo 6

Calcular o produto escalar:
\nabla f(0,0)\cdot\mathbf{u} = \bigl(0,\,1\bigr)\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}},\;-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right) =0\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)+1\cdot\left(-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right) =-\dfrac{3}{\sqrt{10}}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o valor é negativo, isso significa que, movendo-se no sentido de \mathbf{u} a partir de P, a função f inicialmente diminui. Mandou bem por pedir a verificação da unidade do vetor! Continua assim — falta pouco pra prova.

Resposta

-\dfrac{3}{\sqrt{10}}

Exercícios relacionados