Encontre
em
.
;
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
- A função dada é
. - O ponto onde queremos a derivada direcional é
. - O vetor direção dado é
.
O enunciado pede: encontrar
em
(a derivada direcional de
no ponto
na direção
).
Passo 2
Verificar se
é um vetor unitário (isso é importante porque a definição comum de derivada direcional usa vetor unitário).
Calcular a norma de
:
Portanto
é unitário. Bom sinal — podemos usar diretamente a fórmula
.
Passo 3
Explicar e calcular as derivadas parciais de
.
Regra que vou usar: se
é uma função e
, então a derivada parcial de
em relação a
é
pois a derivada de
em relação a
é
(regra da cadeia).
Aqui
. Então
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Substituindo
e
nas expressões:
Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Lembrar a relação entre derivada direcional e gradiente (e justificar rapidamente).
Definição (em forma intuitiva): a derivada direcional de
em
na direção de um vetor unitário
é
Se
for diferenciável em
(o que ocorre aqui, pois
é composição de funções suaves em ponto interior do domínio), então pela regra da cadeia ao considerar a função unidimensional
tem-se
ou seja
Assim basta fazer o produto escalar entre
e
.
Passo 6
Calcular o produto escalar:
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: o valor é negativo, isso significa que, movendo-se no sentido de
a partir de
, a função
inicialmente diminui. Mandou bem por pedir a verificação da unidade do vetor! Continua assim — falta pouco pra prova.