Encontre a matriz canônica de transformação, uma base para o núcleo e uma base para a imagem, analise se a transformação é inversível. T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} onde T(x, y, z, w)=(2 x+4 y+6 z+5 w,-x-2 y+2 z, 8 z+4 w)
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z,w) = (2x+4y+6z+5w,\; -x-2y+2z,\; 8z+4w).
O que nos é pedido:
A matriz canônica de T (ou seja, a matriz de T relativa às bases canônicas de \mathbb{R}^{4} e \mathbb{R}^{3}).
Uma base para o núcleo \ker(T).
Uma base para a imagem \operatorname{Im}(T).
Analisar se T é inversível (isto é, se existe transformação linear inversa).
Também anotamos as informações úteis que já temos: a regra de T dá os coeficientes das variáveis x,y,z,w em cada coordenada do vetor imagem — isso diretamente indica as colunas da matriz canônica (uma ideia que vamos explicar no próximo passo).
Passo 2
O que é a matriz canônica de T e como obtê-la (aula rápida): a matriz canônica (relativa às bases canônicas) tem como coluna j o vetor T(e_j), onde e_j é o j-ésimo vetor da base canônica de \mathbb{R}^4. Os vetores da base canônica são
Calcular T(e_j) explicitamente (mostrando cada passo):
T(e_1)=T(1,0,0,0) = (2,-1,0).
T(e_2)=T(0,1,0,0) = (4,-2,0).
T(e_3)=T(0,0,1,0) = (6,2,8).
T(e_4)=T(0,0,0,1) = (5,0,4).
Cada uma dessas é uma coluna da matriz canônica A.
Passo 4
Montar a matriz canônica A (explicando formato): como T vai de \mathbb{R}^4 para \mathbb{R}^3, a matriz A tem 3 linhas e 4 colunas; a j-ésima coluna é T(e_j). Assim
O que é o núcleo e como se encontra (mini-aula): \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^4: T(v)=0\}. Em termos de A, isso é o conjunto solução do sistema homogêneo A v = 0. Vamos resolver A(x,y,z,w)^{T}=0 por equações.
Resolver a segunda equação para x: da segunda equação
-x-2y+2z=0 \quad\Rightarrow\quad x = -2y+2z.
Assim x fica expresso em termos de y e z.
Passo 8
Substituir x e w na primeira equação para verificar se há restrição adicional:
Substituindo x=-2y+2z e w=-2z em 2x+4y+6z+5w=0:
2(-2y+2z)+4y+6z+5(-2z)= -4y+4z+4y+6z-10z = 0.
O lado esquerdo dá 0, então a primeira equação não impõe nova restrição. Concluímos que as incógnitas livres são y e z.
Passo 9
Escrever a solução geral do sistema com parâmetros e extrair uma base do núcleo:
Seja s=y e t=z parâmetros reais. Então
x = -2s+2t,\quad y=s,\quad z=t,\quad w=-2t.
Escrevendo o vetor (x,y,z,w) em função de s,t:
(x,y,z,w) = s(-2,1,0,0) + t(2,0,1,-2).
Logo \ker(T) é o subespaço gerado por esses dois vetores, e uma base natural é
\{(-2,1,0,0),\; (2,0,1,-2)\}.
Isto mostra \dim(\ker(T))=2.
Passo 10
O que é a imagem e como encontrá-la (mini-aula): \operatorname{Im}(T) é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores T(e_j), isto é, pelas colunas da matriz A. Para obter uma base da imagem, escolhemos as colunas linearmente independentes (por exemplo, as colunas de índice de pivô na eliminação por linhas). As colunas de A são
Determinar independência linear entre as colunas (procedimento prático): observações rápidas:
c_2 = 2c_1,
logo c_2 é dependente de c_1. As colunas c_1 e c_3 não são múltiplos uma da outra (logo potencialmente independentes). Podemos também ver que c_4 é combinação de c_1 e c_3: a relação
c_3 = -2c_1 + 2c_4
é verdadeira (verificação componente a componente), que pode ser reescrita como
c_4 = c_1 + \tfrac{1}{2}c_3,
mostrando que c_4 está no span\{c_1,c_3\}. Assim as colunas independentes que geram todas as demais são c_1 e c_3.
Portanto uma base para \operatorname{Im}(T) é
\{(2,-1,0),\; (6,2,8)\}.
Isto dá \dim(\operatorname{Im}(T))=2.
Passo 12
Verificação pela fórmula posto-nulidade (rank-nullity) e conclusão sobre inversibilidade: pelo teorema do posto e nulidade,
Aqui 4 = 2 + 2, consistente com o que achamos (\operatorname{rank}(A)=2, \dim(\ker(A))=2).
Quanto à inversibilidade: para que T fosse invertível precisaria ser bijetora; mas já temos \ker(T)\neq\{0\}, logo T não é injetora, e além disso \operatorname{rank}(A)=2<3=\dim(\mathbb{R}^3), então T também não é sobrejetora. Conclusão: T não é inversível.