Encontre a matriz canônica de transformação, uma base para o núcleo e uma base para a imagem, analise se a transformação é inversível.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} onde T(x, y, z)=(x+2 y, y+2 z, 2 x+z)

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+2y,\; y+2z,\; 2x+z).
O que ele pede, explicitamente:
  • Encontrar a matriz canônica (matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3).
  • Encontrar uma base para o núcleo de T (ou seja, \ker(T)).
  • Encontrar uma base para a imagem de T (ou seja, \operatorname{Im}(T)).
  • Analisar se T é inversível.
Informações dadas que vamos usar:
  • A regra que envia (x,y,z) em (x+2y,\; y+2z,\; 2x+z).
  • A base canônica de \mathbb{R}^3: \,e_1=(1,0,0),\\ e_2=(0,1,0),\\ e_3=(0,0,1)\,.
    A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Como se obtém a matriz canônica de T? Explicação didática curta: a matriz de T na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica escritas em coordenadas canônicas. Ou seja, a coluna j é T(e_j).
Calculemos T(e_1),T(e_2),T(e_3):
T(e_1)=T(1,0,0)=(1+2\cdot0,\;0+2\cdot0,\;2\cdot1+0)=(1,0,2),
T(e_2)=T(0,1,0)=(0+2\cdot1,\;1+2\cdot0,\;2\cdot0+0)=(2,1,0),
T(e_3)=T(0,0,1)=(0+2\cdot0,\;0+2\cdot1,\;2\cdot0+1)=(0,2,1).
Portanto a matriz canônica A (colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3)) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora vamos achar o núcleo \ker(T)\). Por definição \(\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid T(x,y,z)=0\}\). Em termos da matriz, resolvemos \(A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\). Isso é equivalente ao sistema linear \[\begin{cases} x+2y=0,\\[4pt] y+2z=0,\\[4pt] 2x+z=0. \end{cases}
Vamos resolver passo a passo (método de substituição, simples e que dá para fazer sem calculadora):
  • Da primeira equação temos x=-2y\]. - Da segunda equação temos \(y=-2z.
    - Substituindo essas duas relações na terceira equação: 2x+z=0. Como x= -2y e y=-2z, então x = -2(-2z)=4z.
    - Substituindo em 2x+z=0 2(4z)+z=8z+z=9z=0. Logo z=0.
    - Se z=0 então y=-2z=0 e x=-2y=0.
Conclusão: a única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Portanto
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
Uma base do subespaço nulo (núcleo) é a base do espaço trivial: não há vetores não nulos — a base é o conjunto vazio. Em notação: a base do núcleo é \varnothing e \dim\ker(T)=0.
Comentário didático: quando a única solução é o vetor nulo dizemos que T é injetora; isso já sugere que a matriz terá posto máximo (neste caso, posto 3).]

Passo 4

Agora a imagem \operatorname{Im}(T). Por definição \operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado pelas colunas da matriz A, isto é
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,2),\\ (2,1,0),\\ (0,2,1)\}.
Para saber se essas três colunas formam uma base, precisamos verificar se são linearmente independentes (ou seja, se geram todo \mathbb{R}^3). Uma maneira direta é calcular o determinante de A: se \det A\neq0, então as colunas são independentes e geram \mathbb{R}^3.
Calculemos \det A. Usando expansão por primeira linha (ou qualquer método conhecido):
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]0&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0&2\\[4pt]2&1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]0&1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot0=1,
\det\begin{pmatrix}0&2\\[4pt]2&1\end{pmatrix}=0\cdot1-2\cdot2=-4.
Portanto
\det A = 1 - 2\cdot(-4) = 1+8 = 9.
Como \det A=9\neq0, as colunas são linearmente independentes e, sendo três vetores independentes em \mathbb{R}^3, elas formam uma base de \mathbb{R}^3. Logo
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3
e uma base conveniente para a imagem é justamente o conjunto das colunas:
\{(1,0,2),\\ (2,1,0),\\ (0,2,1)\}.
Também poderia ser usada qualquer outra base de \mathbb{R}^3 (por exemplo a base canônica), já que a imagem é todo \mathbb{R}^3.]

Passo 5

Análise de inversibilidade. Fatos úteis e explicação:
  • Uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é inversível se, e somente se, sua matriz na base canônica tiver determinante não nulo.
  • Já calculamos \det A=9\neq0. Portanto A é inversível, e T é bijetora (injetora e sobrejetora), logo tem inversa linear T^{-1}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3.
Também pelo teorema do posto (teorema imagem-núcleo): \dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=3. Aqui \dim\ker(T)=0 e \dim\operatorname{Im}(T)=3, coerente.

Resposta

Matriz canônica:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Base do núcleo: \varnothing (ou seja, \ker(T)=\{(0,0,0)\})
Base da imagem:
\{(1,0,2),\\ (2,1,0),\\ (0,2,1)\}
Inversível: Sim; \det A=9\neq0, logo T é inversível.]

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