Use a matriz P para mostrar que as matrizes A e A^{\prime} são semelhantes.
P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right],
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]
e \quad A^{\prime}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se mostrar que as matrizes A e A' são semelhantes usando a matriz P.
  • Isso equivale a verificar a igualdade \;A' = P^{-1} A P\; (ou equivalente A P = P A').
  • Matriz P (dada):
P=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}
  • Matriz A (dada):
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] -1 & 3 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 2\end{pmatrix}
  • Matriz A' (dada):
A'=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 3\end{pmatrix}]

Passo 2

Plano de ataque (breve e sem desenvolver ainda): vamos calcular explicitamente P^{-1}, em seguida calcular P^{-1} A P e mostrar que o resultado é exatamente A'. Se P^{-1} A P = A', então por definição A e A' são semelhantes.

Passo 3

Calcular P^{-1}. Método: resolver P x = e_i para cada vetor base canônico e_1,e_2,e_3. As colunas de P^{-1} são as soluções desses sistemas.
Escrevendo P e os vetores:
P=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix},\qquad e_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\; e_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\; e_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver P x = e_1\). Sistema componente a componente: \[\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 1,\\[4pt] x_2 - x_3 = 0,\\[4pt] x_1 = 0. \end{cases}
Da terceira equação x_1=0\]. Da segunda \(x_2=x_3. Substituindo na primeira 0+2x_2=1 x_2=\tfrac{1}{2} e x_3=\tfrac{1}{2}. Assim a primeira coluna de P^{-1} é
\begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver P x = e_2\). Sistema: \[\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0,\\[4pt] x_2 - x_3 = 1,\\[4pt] x_1 = 0. \end{cases}
Da terceira x_1=0\]. Da segunda \(x_2=1+x_3. Substituindo na primeira 0+2(1+x_3)=0 2+2x_3=0 então x_3=-1 e x_2=0. Segunda coluna de P^{-1}:
\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolver P x = e_3\). Sistema: \[\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0,\\[4pt] x_2 - x_3 = 0,\\[4pt] x_1 = 1. \end{cases}
Da terceira x_1=1\]. Da segunda \(x_2=x_3. Substituindo na primeira 1+2x_2=0 x_2=-\tfrac{1}{2} e x_3=-\tfrac{1}{2}. Terceira coluna de P^{-1}:
\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Reunindo colunas, obtemos
P^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & -1 & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
(Verificação rápida mental: P P^{-1}=I confere com os vetores resolvidos.)]

Passo 8

Calcular A P primeiro (é mais prático): multiplicar A pelas colunas de P. As colunas de P são
p_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad p_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad p_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Calcule A p_1:
A p_1= \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] -1 & 3 & 1 \\[4pt]0 & 0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Calcule A p_2:
A p_2= \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Calcule A p_3:
A p_3= \begin{pmatrix}0\\[4pt]-3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Logo
A P = \begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\[4pt]0 & 1 & -3 \\[4pt]2 & 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 9

Agora calcular P^{-1}(A P). Multiplicar P^{-1} pelas colunas de A P.
Primeira coluna de A P é \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}. Multiplicando:
P^{-1}\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & -1 & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Segunda coluna de A P é \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Multiplicando:
P^{-1}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Terceira coluna de A P é \begin{pmatrix}0\\[4pt]-3\\[4pt]0\end{pmatrix}. Multiplicando:
P^{-1}\begin{pmatrix}0\\[4pt]-3\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 10

Juntando as colunas obtidas ao multiplicar, obtemos
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt]0 & 1 & 0 \\[4pt]0 & 0 & 3\end{pmatrix},
que coincide exatamente com A'.]

Resposta

A' = P^{-1} A P

Exercícios relacionados