Encontre uma matriz T que define uma semelhança e mostre que A é diagonalizável.
Considere a matriz:
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 4 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 4 & 1\end{pmatrix}
e pede duas coisas: (i) encontrar uma matriz T que realize uma semelhança (ou seja, exista inversa de T tal que T^{-1}AT seja diagonal) e (ii) mostrar que A é diagonalizável.
Informações relevantes dadas: os coeficientes de A são os quatro números acima. Nada mais foi fornecido.]

Passo 2

O que significa diagonalizar/semelhança (explicação didática curta e direta): dizer que A é diagonalizável é afirmar que existe uma matriz invertível T tal que
T^{-1} A T = D
onde D é matriz diagonal (os elementos fora da diagonal são zero). Uma maneira padrão de construir T é escolher suas colunas como vetores próprios (autovetores) de A; então D terá os autovalores correspondentes na diagonal. Vou seguir esse método passo a passo.

Passo 3

Vamos encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico. Para isso use a fórmula do determinante de A-\lambda I (para 2\times2, se A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}, então \det(A-\lambda I)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc). Aplicando a A:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(1-\lambda)-4.
Desenvolvendo:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^2-4 = 1-2\lambda+\lambda^2-4=\lambda^2-2\lambda-3.
Portanto o polinômio característico é \lambda^2-2\lambda-3.

Passo 4

Agora encontramos as raízes do polinômio \lambda^2-2\lambda-3=0. Podemos fatorar ou usar a fórmula quadrática. Fatorando:
\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1),
logo os autovalores são
\lambda_1=3,\qquad \lambda_2=-1.
Observação importante (didática): como os autovalores são distintos, espera-se (para matriz 2\times2) que existam dois autovetores linearmente independentes; isso já é um forte indício de que A será diagonalizável.

Passo 5

Vamos achar um autovetor associado a \lambda_1=3. Precisamos resolver (A-3I)v=0. A matriz A-3I é
A-3I=\begin{pmatrix}1-3 & 1 \\[4pt] 4 & 1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 4 & -2\end{pmatrix}.
Resolver (A-3I)\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} dá o sistema
-2x+y=0,\qquad 4x-2y=0.
A primeira equação já diz y=2x. Escolhendo x=1 (qualquer múltiplo funciona) obtemos um autovetor
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}
associado a \lambda_1=3. (Explicação: autovetor é vetor não-nulo que satisfaz A v=\lambda v.)]

Passo 6

Agora o autovetor para \lambda_2=-1. Calcule A-(-1)I=A+I:
A+I=\begin{pmatrix}1+1 & 1 \\[4pt] 4 & 1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & 2\end{pmatrix}.
Resolvendo (A+I)\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} obtemos
2x+y=0,\qquad 4x+2y=0,
da primeira equação y=-2x. Tomando x=1 temos o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}
associado a \lambda_2=-1.]

Passo 7

Formamos a matriz T cujas colunas são os autovetores v_1 e v_2:
T=\begin{pmatrix}v_1 & v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix}.
Explicação didática: escolher colunas de T como autovetores é padrão porque então A T = T D com D diagonal contendo os autovalores; isso implica T^{-1} A T = D se T for invertível.]

Passo 8

Verificamos que T é invertível calculando seu determinante (critério simples para 2\times2). Para T=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}, \det(T)=ad-bc. Aqui:
\det(T)=1\cdot(-2)-1\cdot 2=-2-2=-4\neq 0.
Como \det(T)\neq 0, T é invertível. Isso confirma que os autovetores escolhidos são linearmente independentes e que podemos usar T para diagonalizar A.

Passo 9

Mostramos agora a relação A T = T D explicitamente através da ação em cada coluna. Calculando A v_1 e A v_2:
A v_1 = A\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot2\\[4pt]4\cdot1+1\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}=3v_1,
A v_2 = A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot(-2)\\[4pt]4\cdot1+1\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}=-1v_2.
Portanto A T = \begin{pmatrix}A v_1 & A v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3v_1 & -1 v_2\end{pmatrix}=T\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}. Denotando D=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}, temos
A T = T D.
Multiplicando à esquerda por T^{-1} (existe porque \det(T)\neq0) segue
T^{-1} A T = D,
ou seja, A é semelhante à matriz diagonal D.]

Passo 10

(se desejar verificar aritmeticamente a inversa e a igualdade) A inversa de T pelo fórmula do 2\times2 é
T^{-1}=\frac{1}{\det(T)}\begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}=\frac{1}{-4}\begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4}\end{pmatrix}.
Calculando T^{-1}AT com essa T^{-1} dá exatamente
T^{-1}AT=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}=D,
confirmando a diagonalização.]

Resposta

T=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix}, com T^{-1}AT=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
A é diagonalizável.]

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