e pede duas coisas: (i) encontrar uma matriz T que realize uma semelhança (ou seja, exista inversa de T tal que T^{-1}AT seja diagonal) e (ii) mostrar que A é diagonalizável.
Informações relevantes dadas: os coeficientes de A são os quatro números acima. Nada mais foi fornecido.]
Passo 2
O que significa diagonalizar/semelhança (explicação didática curta e direta): dizer que A é diagonalizável é afirmar que existe uma matriz invertível T tal que
T^{-1} A T = D
onde D é matriz diagonal (os elementos fora da diagonal são zero). Uma maneira padrão de construir T é escolher suas colunas como vetores próprios (autovetores) de A; então D terá os autovalores correspondentes na diagonal. Vou seguir esse método passo a passo.
Passo 3
Vamos encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico. Para isso use a fórmula do determinante de A-\lambda I (para 2\times2, se A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}, então \det(A-\lambda I)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc). Aplicando a A:
Portanto o polinômio característico é \lambda^2-2\lambda-3.
Passo 4
Agora encontramos as raízes do polinômio \lambda^2-2\lambda-3=0. Podemos fatorar ou usar a fórmula quadrática. Fatorando:
\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1),
logo os autovalores são
\lambda_1=3,\qquad \lambda_2=-1.
Observação importante (didática): como os autovalores são distintos, espera-se (para matriz 2\times2) que existam dois autovetores linearmente independentes; isso já é um forte indício de que A será diagonalizável.
Passo 5
Vamos achar um autovetor associado a \lambda_1=3. Precisamos resolver (A-3I)v=0. A matriz A-3I é
Explicação didática: escolher colunas de T como autovetores é padrão porque então A T = T D com D diagonal contendo os autovalores; isso implica T^{-1} A T = D se T for invertível.]
Passo 8
Verificamos que T é invertível calculando seu determinante (critério simples para 2\times2). Para T=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}, \det(T)=ad-bc. Aqui:
\det(T)=1\cdot(-2)-1\cdot 2=-2-2=-4\neq 0.
Como \det(T)\neq 0, T é invertível. Isso confirma que os autovetores escolhidos são linearmente independentes e que podemos usar T para diagonalizar A.
Passo 9
Mostramos agora a relação A T = T D explicitamente através da ação em cada coluna. Calculando A v_1 e A v_2:
A v_1 = A\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot2\\[4pt]4\cdot1+1\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}=3v_1,
A v_2 = A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot(-2)\\[4pt]4\cdot1+1\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}=-1v_2.
Portanto A T = \begin{pmatrix}A v_1 & A v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3v_1 & -1 v_2\end{pmatrix}=T\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}. Denotando D=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}, temos
A T = T D.
Multiplicando à esquerda por T^{-1} (existe porque \det(T)\neq0) segue
T^{-1} A T = D,
ou seja, A é semelhante à matriz diagonal D.]
Passo 10
(se desejar verificar aritmeticamente a inversa e a igualdade) A inversa de T pelo fórmula do 2\times2 é