Calcule as concentrações de todas as espécies presentes em uma solução de HCN 0,150 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}, \mathrm{pKb}=4,69

Passo 1

O enunciado nos dá uma solução de ácido cianídrico com concentração inicial \,0,150\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\, e informa \mathrm{p}K_b=4,69. O que é pedido: calcular as concentrações em equilíbrio de todas as espécies presentes na solução (isto é, pelo menos \mathrm{HCN}, \mathrm{H^+}, \mathrm{CN^-} e \mathrm{OH^-}). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Concentração inicial de \mathrm{HCN}: \,c_0=0,150\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\,.
  • \mathrm{p}K_b(\mathrm{CN^-})=4,69 (isto permite obter \mathrm{p}K_a(\mathrm{HCN})).
  • Constante de dissociação da água \,K_w=1,00\times10^{-14}\, (assumir temperatura 25^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que usarei (explicação didática):
  • Um ácido fraco \mathrm{HA} (aqui \mathrm{HCN}) dissocia-se em água segundo a reação
\mathrm{HCN} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{CN^-}.
A constante de acidez é
K_a=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{CN^-}]}{[\mathrm{HCN}]}.
  • Relação entre \mathrm{p}K_a e \mathrm{p}K_b para um par conjugado ácido/base:
\mathrm{p}K_a+\mathrm{p}K_b=14\quad(\text{a }25^\circ\mathrm{C}).
Isso permite passar de \mathrm{p}K_b(\mathrm{CN^-}) para \mathrm{p}K_a(\mathrm{HCN}).
  • Relação entre \mathrm{p}K_a e K_a:
K_a=10^{-\mathrm{p}K_a}.
  • Em soluções de ácido fraco, é clássico usar uma tabela I/C/E (Inicial/variação/equilíbrio) com incógnita x=[\mathrm{H^+}]_{eq}=[\mathrm{CN^-}]_{eq}. Se x for muito pequeno em comparação com c_0, pode-se aproximar c_0-x\approx c_0 e resolver x\approx\sqrt{K_a c_0}.
  • Depois de obter [\mathrm{H^+}], obtém-se [\mathrm{OH^-}] por
[\mathrm{OH^-}]=\frac{K_w}{[\mathrm{H^+}]}.

Passo 3

Calcular \mathrm{p}K_a a partir de \mathrm{p}K_b:
\mathrm{p}K_a=14-\mathrm{p}K_b=14-4,69=9,31.

Passo 4

Calcular K_a:
K_a=10^{-\mathrm{p}K_a}=10^{-9,31}.
Para dar um valor numérico:
10^{-9,31}=10^{-9}\cdot10^{-0,31}\approx1{,}00\times10^{-9}\cdot0{,}4898\approx4{,}90\times10^{-10}.

Passo 5

Montar a tabela I/C/E para a reação \mathrm{HCN}\rightleftharpoons\mathrm{H^+}+\mathrm{CN^-}:
  • Inicial: [\mathrm{HCN}]=0,150, [\mathrm{H^+}]\approx0 (desprezível frente ao que a solução produzirá), [\mathrm{CN^-}]=0.
  • Variação: \mathrm{HCN} perde x, \mathrm{H^+} ganha x, \mathrm{CN^-} ganha x.
  • Equilíbrio: [\mathrm{HCN}]=0,150-x, [\mathrm{H^+}]=x, [\mathrm{CN^-}]=x.
A expressão de K_a fica
K_a=\frac{x\cdot x}{0,150-x}=\frac{x^2}{0,150-x}.
Assumindo x\ll0,150 (vamos verificar depois), aproximamos
x\approx\sqrt{K_a\cdot0,150}.

Passo 6

Calcular numericamente x:
K_a\cdot0,150=(4{,}90\times10^{-10})\cdot0,150=7{,}35\times10^{-11}.
x\approx\sqrt{7{,}35\times10^{-11}} \approx8{,}57\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Assim [\mathrm{H^+}]_{eq}=[\mathrm{CN^-}]_{eq}\approx8{,}57\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 7

Verificação da aproximação x\ll c_0:
\frac{x}{0,150}=\frac{8{,}57\times10^{-6}}{0,150}\approx5{,}71\times10^{-5}=0{,}00571\%.
Como isto é muito menor que 5\%, a aproximação é perfeitamente válida. Então
[\mathrm{HCN}]_{eq}=0,150-x\approx0,150-8{,}57\times10^{-6}=0,1499914\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\approx0,14999\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 8

Calcular [\mathrm{OH^-}] e pH (complemento e interpretação):
[\mathrm{OH^-}]=\frac{K_w}{[\mathrm{H^+}]}=\frac{1{,}00\times10^{-14}}{8{,}57\times10^{-6}}\approx1{,}17\times10^{-9}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
\mathrm{pH}=-\log_{10}([\mathrm{H^+}])=-\log_{10}(8{,}57\times10^{-6})\approx5{,}07.
Comentário intuitivo: o ácido é fraco (pequeno K_a), por isso a ionização é pequena ( \sim0{,}0057\%), resultando numa solução levemente ácida com \mathrm{pH}\approx5{,}07.

Resposta

[\mathrm{HCN}]_{eq}=0,14999\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
[\mathrm{CN^-}]_{eq}=8{,}57\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
[\mathrm{H^+}]_{eq}=8{,}57\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
[\mathrm{OH^-}]_{eq}=1{,}17\times10^{-9}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

Exercícios relacionados