Encontre uma matriz na forma em escada a qual a matriz \left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 4 & 2 \\\\ 1 & -5 & 1 \\\\ 4 & 16 & 8\end{array}\right) é linha equivalente.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre uma matriz na forma em escada a qual a matriz \displaystyle \begin{pmatrix}2 & -1 & 3 \\[2pt] 1 & 4 & 2 \\[2pt] 1 & -5 & 1 \\[2pt] 4 & 16 & 8\end{pmatrix} é linha equivalente.”\n
Dados fornecidos: a matriz original é
O que se pede: uma matriz em forma em escada (row echelon form) que seja obtida a partir de A por operações elementares sobre as linhas (ou seja, que seja linha-equivalente a A).]
Passo 2
Explicando o plano (de forma simples e prática): para obter a forma em escada usamos operações elementares de linha. Essas operações são: \displaystyle (i) trocar duas linhas (R_i \leftrightarrow R_j), (ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo (cR_i), (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra (R_i \leftarrow R_i + cR_j).\n
A forma em escada exige que cada linha não-nula tenha seu primeiro elemento não-nulo (pivot) mais à direita do que o pivot da linha anterior, e que todas as linhas nulas (se houver) apareçam abaixo das não-nulas. Vou aplicar operações passo a passo, explicando cada cálculo.
Passo 3
Primeira decisão prática: escolher um bom pivot na primeira coluna. É conveniente ter um pivot igual a 1 para contas mais fáceis. Observando A, a segunda linha já tem 1 na primeira coluna. Então trocamos \displaystyle R_1 com \displaystyle R_2:
Agora usamos o pivot \displaystyle 1 em \displaystyle R_1 para anular as entradas abaixo na primeira coluna. Aplicamos as operações: \displaystyle R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, \displaystyle R_3 \leftarrow R_3 - R_1, \displaystyle R_4 \leftarrow R_4 - 4R_1.\n
Vou mostrar cada subtração coordenada para ficar bem claro:
Para \displaystyle R_2 - 2R_1: \displaystyle R_2=(2,-1,3), \displaystyle 2R_1=(2,8,4).
Subtraindo coordenada a coordenada: (2-2,\; -1-8,\; 3-4) = (0,\; -9,\; -1).
Agora, na segunda linha temos um pivot natural na segunda coluna: \displaystyle -9 em \displaystyle R_2. Queremos zeros abaixo desse pivot. A terceira linha é exatamente igual à segunda, então basta fazer \displaystyle R_3 \leftarrow R_3 - R_2.\n
Calculando: \displaystyle R_3=(0,-9,-1) e \displaystyle R_2=(0,-9,-1), assim \displaystyle R_3 - R_2 = (0,0,0).\n
Aplicando, obtemos
Verificação de forma em escada: temos duas linhas não-nulas no topo e depois duas linhas nulas. O primeiro pivot está em \displaystyle (1,1) e o segundo pivot está em \displaystyle (2,2); o pivot da segunda linha está mais à direita que o da primeira, e abaixo deles todas as entradas na respectiva coluna são zero. Portanto esta matriz já está em forma em escada (row echelon form).\n
Observação opcional: se quisermos um pivot igual a 1 na segunda linha podemos multiplicar \displaystyle R_2 por \displaystyle -\tfrac{1}{9}. Isso daria a forma escalonada com pivôs normalizados (forma em escada reduzida não é exigida aqui). Mas não é necessário para ser “forma em escada”.