Dê exemplo de matrizes quadradas
e
, de mesma ordem tais que:
e
são nulas e
.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de matrizes quadradas
e
, de mesma ordem, tais que
e
não sejam a matriz nula e satisfaçam
onde
é a matriz nula (todas as entradas iguais a zero).
Informações relevantes: quer-se matrizes quadradas (mesma ordem), ambas não nulas, e cujo produto é a matriz nula.
Informações relevantes: quer-se matrizes quadradas (mesma ordem), ambas não nulas, e cujo produto é a matriz nula.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa multiplicar matrizes no caso
(essa é a forma mais simples e suficiente para dar um exemplo). Se
então o produto
é a matriz cujas entradas são obtidas por produto escalar entre linhas de
e colunas de
:
com
Para fazer
queremos que essas quatro somas sejam todas zero, embora
e
possam ter entradas não nulas.]
Passo 3
Uma estratégia prática para a prova: escolher
que anule (envie para zero) uma certa direção (ou coluna) e escolher
de modo que as colunas de
pertençam a essa direção anulada por
. Em linguagem linear, escolher
com núcleo não-trivial e fazer a imagem (colunas) de
estar contida em
. Vou aplicar isso com matrizes
simples.
Proponho as matrizes
Elas são quadradas da mesma ordem (
). Vamos checar que ambas não são a matriz nula e que o produto é
.]
Passo 4
Verificando que
e
não são nulas:
tem a entrada
, logo
.
tem a entrada
, logo
.]
Passo 5
Agora calculamos o produto
usando a fórmula de entradas (vou mostrar cada entrada explicitamente):
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Juntando as entradas temos
Passo 6
Resumo e intuição rápida para a prova: as matrizes escolhidas funcionam porque a coluna não-nula de
é
, e
envia qualquer vetor da forma
para zero (pois a segunda linha de
é zero). Em termos lineares:
, daí
. Esse é o método geral para construir exemplos: escolha
com núcleo não-trivial e faça as colunas de
pertencerem ao núcleo de
.