Dê exemplo de matrizes quadradas A e B, de mesma ordem tais que:
A e B são nulas e A \cdot B=O.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de matrizes quadradas A e B, de mesma ordem, tais que A e B não sejam a matriz nula e satisfaçam
A\cdot B = O,
onde O é a matriz nula (todas as entradas iguais a zero).
Informações relevantes: quer-se matrizes quadradas (mesma ordem), ambas não nulas, e cujo produto é a matriz nula.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa multiplicar matrizes no caso 2\times2 (essa é a forma mais simples e suficiente para dar um exemplo). Se
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\[4pt] b_{21} & b_{22} \end{pmatrix},
então o produto C=A\cdot B é a matriz cujas entradas são obtidas por produto escalar entre linhas de A e colunas de B:
C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\[4pt] c_{21} & c_{22} \end{pmatrix},
com
c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21},\quad c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22},
c_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21},\quad c_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.
Para fazer A\cdot B=O queremos que essas quatro somas sejam todas zero, embora A e B possam ter entradas não nulas.]

Passo 3

Uma estratégia prática para a prova: escolher A que anule (envie para zero) uma certa direção (ou coluna) e escolher B de modo que as colunas de B pertençam a essa direção anulada por A. Em linguagem linear, escolher A com núcleo não-trivial e fazer a imagem (colunas) de B estar contida em \ker(A). Vou aplicar isso com matrizes 2\times2 simples.
Proponho as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.
Elas são quadradas da mesma ordem ( 2\times2). Vamos checar que ambas não são a matriz nula e que o produto é O.]

Passo 4

Verificando que A e B não são nulas:
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}
tem a entrada a_{11}=1\neq 0, logo A\neq O.
B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}
tem a entrada b_{21}=1\neq 0, logo B\neq O.]

Passo 5

Agora calculamos o produto A\cdot B usando a fórmula de entradas (vou mostrar cada entrada explicitamente):
Calcule c_{11}:
c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
Calcule c_{12}:
c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}=1\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0.
Calcule c_{21}:
c_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}=0\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
Calcule c_{22}:
c_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}=0\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0.
Juntando as entradas temos
A\cdot B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=O.]

Passo 6

Resumo e intuição rápida para a prova: as matrizes escolhidas funcionam porque a coluna não-nula de B é \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}, e A envia qualquer vetor da forma \begin{pmatrix}0\\*\end{pmatrix} para zero (pois a segunda linha de A é zero). Em termos lineares: \operatorname{Im}(B)\subseteq\ker(A), daí A B = 0. Esse é o método geral para construir exemplos: escolha A com núcleo não-trivial e faça as colunas de B pertencerem ao núcleo de A.

Resposta

A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}]

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