A tarefa é produzir uma sequência de operações elementares sobre linhas (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, ou adicionar múltiplo de uma linha a outra) que, aplicadas a A, resultem em B.]
Passo 2
O que são operações elementares sobre linhas? Vou explicar de maneira bem direta e prática (como eu gosto de explicar quando também tô na correria de prova):
Operação do tipo 1: trocar duas linhas. Notação: trocar R_i com R_j.
Operação do tipo 2: multiplicar uma linha por um escalar não nulo c. Notação: R_i \leftarrow c\,R_i.
Operação do tipo 3: adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha. Notação: R_i \leftarrow R_i + k\,R_j, onde k é um escalar.
Dica prática: o tipo 3 é o que mais usamos para “zerar” ou ajustar entradas. Quando você escreve R_i \leftarrow R_i - R_j, significa que cada entrada da nova R_i é a entrada antiga de R_i menos a entrada correspondente de R_j. Vou mostrar isso passo a passo aplicando as operações em A até obter B.
Passo 3
Primeira operação: queremos tornar a segunda linha de A igual à segunda linha de B, que é (0,2,-2). Note que se fizermos
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,
então calculamos cada entrada nova de R_2 como diferença correspondente:
Explicação didática: subtrair R_1 de R_2 é uma operação do tipo 3 com k=-1. Serve para eliminar a primeira componente de R_2 (aqui ficou zero) mantendo as outras relativas ajustadas.]
Passo 4
Segunda operação: agora queremos que a primeira linha seja (1,0,5), que é exatamente a primeira linha de B. Observando a matriz atual, se fizermos
Explicação didática: outra operação do tipo 3. Observe que usamos a linha já transformada R_2 (que está igual à linha alvo de B) como “ferramenta” para ajustar R_1. Isso é muito comum: primeiro criamos uma linha desejada e depois usamos ela para corrigir outras.]
Passo 5
Terceira operação: finalmente, queremos que a terceira linha seja (1,1,4). Na matriz atual R_3=(2,1,9). Se fizermos
que é exatamente B. Explicação didática: outra aplicação do tipo 3, usando R_1 recém-obtida para ajustar R_3.]
Passo 6
Verificação final: aplicando em ordem as operações abaixo em A obtemos B. Cada uma é uma operação elementar do tipo “adicionar múltiplo de uma linha a outra”, portanto válida.
Força aí — você já tem a sequência pronta pra escrever na prova. Se quiser, posso também escrever a multiplicação por matrizes elementares que corresponde a cada operação, mas para a maioria das provas a lista das operações em si já resolve.