Encontre uma sequência de operações elementares sobre linhas que produz a matriz B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 5 \\\\ 0 & 2 & -2 \\\\ 1 & 1 & 4\end{array}\right) a partir da matriz A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 2 & 1 & 9\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede: encontre uma sequência de operações elementares sobre linhas que transforma a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 1 & 4 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 9\end{pmatrix}
na matriz
B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 5 \\[4pt] 0 & 2 & -2 \\[4pt] 1 & 1 & 4\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 1 & 4 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 9\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 5 \\[4pt] 0 & 2 & -2 \\[4pt] 1 & 1 & 4\end{pmatrix}.
A tarefa é produzir uma sequência de operações elementares sobre linhas (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, ou adicionar múltiplo de uma linha a outra) que, aplicadas a A, resultem em B.]

Passo 2

O que são operações elementares sobre linhas? Vou explicar de maneira bem direta e prática (como eu gosto de explicar quando também tô na correria de prova):
  • Operação do tipo 1: trocar duas linhas. Notação: trocar R_i com R_j.
  • Operação do tipo 2: multiplicar uma linha por um escalar não nulo c. Notação: R_i \leftarrow c\,R_i.
  • Operação do tipo 3: adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha. Notação: R_i \leftarrow R_i + k\,R_j, onde k é um escalar.
Dica prática: o tipo 3 é o que mais usamos para “zerar” ou ajustar entradas. Quando você escreve R_i \leftarrow R_i - R_j, significa que cada entrada da nova R_i é a entrada antiga de R_i menos a entrada correspondente de R_j. Vou mostrar isso passo a passo aplicando as operações em A até obter B.

Passo 3

Primeira operação: queremos tornar a segunda linha de A igual à segunda linha de B, que é (0,2,-2). Note que se fizermos
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,
então calculamos cada entrada nova de R_2 como diferença correspondente:
R_2 = (1,4,1) - (1,2,3) = (0,2,-2).
Aplicando isso à matriz A obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}.
Explicação didática: subtrair R_1 de R_2 é uma operação do tipo 3 com k=-1. Serve para eliminar a primeira componente de R_2 (aqui ficou zero) mantendo as outras relativas ajustadas.]

Passo 4

Segunda operação: agora queremos que a primeira linha seja (1,0,5), que é exatamente a primeira linha de B. Observando a matriz atual, se fizermos
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,
temos
R_1 = (1,2,3) - (0,2,-2) = (1,0,5).
Aplicando isso à matriz obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\[4pt] 0 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}.
Explicação didática: outra operação do tipo 3. Observe que usamos a linha já transformada R_2 (que está igual à linha alvo de B) como “ferramenta” para ajustar R_1. Isso é muito comum: primeiro criamos uma linha desejada e depois usamos ela para corrigir outras.]

Passo 5

Terceira operação: finalmente, queremos que a terceira linha seja (1,1,4). Na matriz atual R_3=(2,1,9). Se fizermos
R_3 \leftarrow R_3 - R_1,
então
R_3 = (2,1,9) - (1,0,5) = (1,1,4),
e a matriz final fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\[4pt] 0 & 2 & -2 \\[4pt] 1 & 1 & 4 \end{pmatrix},
que é exatamente B. Explicação didática: outra aplicação do tipo 3, usando R_1 recém-obtida para ajustar R_3.]

Passo 6

Verificação final: aplicando em ordem as operações abaixo em A obtemos B. Cada uma é uma operação elementar do tipo “adicionar múltiplo de uma linha a outra”, portanto válida.
Força aí — você já tem a sequência pronta pra escrever na prova. Se quiser, posso também escrever a multiplicação por matrizes elementares que corresponde a cada operação, mas para a maioria das provas a lista das operações em si já resolve.

Resposta

R_2 \leftarrow R_2 - R_1
R_1 \leftarrow R_1 - R_2
R_3 \leftarrow R_3 - R_1

Exercícios relacionados