Encontre a matriz inversa de A, se ela existir.
A=\left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 2 & 7 & -2 \end{array}\right)

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a matriz inversa de A, se ela existir.
Informações dadas:
A=\left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 2 & 7 & -2 \end{array}\right).
Objetivo claro: determinar A^{-1} (ou concluir que não existe, caso A não seja invertível).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): uma matriz quadrada A é invertível se existir uma matriz B tal que AB=BA=I, onde I é a identidade. Um teste prático e simples é calcular o determinante: se \det(A)\neq 0, a matriz é invertível; se \det(A)=0, não é invertível.
Vamos calcular \det(A) usando a expansão pela primeira linha. A fórmula de expansão pela primeira linha é
\det(A)=\sum_{j=1}^{3} a_{1j}(-1)^{1+j}\det(M_{1j}),
onde M_{1j} é a matriz obtida de A removendo a linha 1 e a coluna j.
Calculando os menores:
  • Para j=1: M_{11}=\begin{pmatrix}2&3\\\ 7&-2\end{pmatrix} e
\det(M_{11})=2\cdot(-2)-3\cdot7=-4-21=-25.
O termo correspondente é a_{11}(-1)^{1+1}\det(M_{11})=(-1)\cdot(+1)\cdot(-25)=25.
  • Para j=2: a_{12}=0 então o termo é 0 (não precisamos calcular o menor para multiplicar por zero, mas, para registro, M_{12}=\begin{pmatrix}0&3\\\ 2&-2\end{pmatrix} e \det(M_{12})=-6).
  • Para j=3: M_{13}=\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&7\end{pmatrix} e
\det(M_{13})=0\cdot7-2\cdot2=-4.
O termo correspondente é a_{13}(-1)^{1+3}\det(M_{13})=2\cdot(+1)\cdot(-4)=-8.
Somando os termos:
\det(A)=25+0-8=17.
Conclusão: \det(A)=17\neq0, portanto A é invertível e A^{-1} existe.

Passo 3

Método escolhido (explicação didática): vou usar o método da adjunta (ou adjugate): A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A), onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores. Esse método é direto para 3\times3 e dá entradas racionais simples quando o determinante é inteiro (como aqui).
Definições:
  • Menor M_{ij} é a determinante da matriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j.
  • Cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • A matriz dos cofatores é (C_{ij}) e \operatorname{adj}(A)=(C_{ij})^{T}.
Vamos calcular todos os cofatores C_{ij}.
Linha 1:
  • M_{11}=\begin{pmatrix}2&3\\\ 7&-2\end{pmatrix}, \det(M_{11})=-25, então
C_{11}=(-1)^{1+1}(-25)=-25.
  • M_{12}=\begin{pmatrix}0&3\\\ 2&-2\end{pmatrix}, \det(M_{12})=-6, então
C_{12}=(-1)^{1+2}(-6)=+6.
  • M_{13}=\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&7\end{pmatrix}, \det(M_{13})=-4, então
C_{13}=(-1)^{1+3}(-4)=-4.
Linha 2:
  • M_{21}=\begin{pmatrix}0&2\\\ 7&-2\end{pmatrix}, \det(M_{21})=-14, então
C_{21}=(-1)^{2+1}(-14)=+14.
  • M_{22}=\begin{pmatrix}-1&2\\\ 2&-2\end{pmatrix}, \det(M_{22})=(-1)(-2)-2\cdot2=2-4=-2, então
C_{22}=(-1)^{2+2}(-2)=-2.
  • M_{23}=\begin{pmatrix}-1&0\\\ 2&7\end{pmatrix}, \det(M_{23})=(-1)\cdot7-0\cdot2=-7, então
C_{23}=(-1)^{2+3}(-7)=+7.
Linha 3:
  • M_{31}=\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&3\end{pmatrix}, \det(M_{31})=0\cdot3-2\cdot2=-4, então
C_{31}=(-1)^{3+1}(-4)=-4.
  • M_{32}=\begin{pmatrix}-1&2\\\ 0&3\end{pmatrix}, \det(M_{32})=(-1)\cdot3-2\cdot0=-3, então
C_{32}=(-1)^{3+2}(-3)=+3.
  • M_{33}=\begin{pmatrix}-1&0\\\ 0&2\end{pmatrix}, \det(M_{33})=(-1)\cdot2-0\cdot0=-2, então
C_{33}=(-1)^{3+3}(-2)=-2.
Matriz dos cofatores:
(C_{ij})=\left(\begin{array}{rrr} -25 & 6 & -4 \\\\ 14 & -2 & 7 \\\\ -4 & 3 & -2 \end{array}\right).

Passo 4

Agora tomamos a transposta dessa matriz para obter a adjunta (adjugate):
\operatorname{adj}(A)=(C_{ij})^{T}=\left(\begin{array}{rrr} -25 & 14 & -4 \\\\ 6 & -2 & 3 \\\\ -4 & 7 & -2 \end{array}\right).
Aplicando a fórmula da inversa:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{17}\left(\begin{array}{rrr} -25 & 14 & -4 \\\\ 6 & -2 & 3 \\\\ -4 & 7 & -2 \end{array}\right).
Uma verificação rápida (só para confiar no resultado): multiplicando a primeira linha de A pela primeira coluna de A^{-1} obtém-se
\frac{1}{17}\big((-1)(-25)+0\cdot14+2\cdot(-4)\big)=\frac{1}{17}(25-8)=\frac{17}{17}=1,
o que é consistente com AA^{-1}=I na posição (1,1). Isso é um checadinho que ajuda a ganhar confiança.

Resposta

A^{-1}=\frac{1}{17}\left(\begin{array}{rrr} -25 & 14 & -4 \\\\ 6 & -2 & 3 \\\\ -4 & 7 & -2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} \frac{-25}{17} & \frac{14}{17} & \frac{-4}{17} \\\ \frac{6}{17} & \frac{-2}{17} & \frac{3}{17} \\\ \frac{-4}{17} & \frac{7}{17} & \frac{-2}{17} \end{array}\right)

Exercícios relacionados