Q10: Seja
o ângulo entre os vetores (3, 2, 5, 1) e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(G)
(H)
(V)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(G)
(H)
(V)
Passo 1
O enunciado pede para identificar em qual intervalo (entre as alternativas dadas) fica o ângulo
entre os vetores
e
em
. Dados relevantes fornecidos:
As alternativas com intervalos estão listadas; precisamos calcular
(ou suficiente para compará-lo com os limites dos intervalos) e então assinalar a alternativa correta.
Passo 2
Definição e cálculo do produto escalar (dot product). Para vetores
e
em
o produto escalar é
Aplicando aos vetores dados:
Ou seja, o produto escalar é
.
Passo 3
Definição e cálculo da norma (comprimento) de um vetor. A norma de
é
Para
temos
Passo 4
Calculemos a norma de
:
Passo 5
Fórmula que relaciona produto escalar e ângulo: para
,
Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
Vamos aproximar numericamente
para comparar com cossenos de ângulos-padrão. Calculando numericamente:
Lembre que no intervalo
a função
é decrescente, então valores de
menores (mais negativos) correspondem a ângulos maiores. Alguns cossenos conhecidos:
Observamos que
ou seja
está entre
e
. Como
é decrescente em
, isso implica
Em graus,
, que confirma estar entre
e
.
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas, o intervalo que contém
é exatamente
que corresponde à alternativa marcada como
no enunciado.
Resposta
(V)