Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (3, 2, 5, 1) e (-5,-2,0,-4) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi
(V) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4

Passo 1

O enunciado pede para identificar em qual intervalo (entre as alternativas dadas) fica o ângulo \theta entre os vetores \,(3,2,5,1)\, e \,(-5,-2,0,-4)\, em \mathbb{R}^{4}. Dados relevantes fornecidos:
\mathbf{u}=(3,2,5,1),\qquad \mathbf{v}=(-5,-2,0,-4).
As alternativas com intervalos estão listadas; precisamos calcular \theta (ou suficiente para compará-lo com os limites dos intervalos) e então assinalar a alternativa correta.

Passo 2

Definição e cálculo do produto escalar (dot product). Para vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3,u_4) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3,v_4) em \mathbb{R}^4 o produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3+u_4v_4.
Aplicando aos vetores dados:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=3\cdot(-5)+2\cdot(-2)+5\cdot 0+1\cdot(-4)=-15-4+0-4=-23.
Ou seja, o produto escalar é -23.

Passo 3

Definição e cálculo da norma (comprimento) de um vetor. A norma de \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+\cdots+u_n^2}.
Para \mathbf{u}=(3,2,5,1) temos
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{3^2+2^2+5^2+1^2}=\sqrt{9+4+25+1}=\sqrt{39}.

Passo 4

Calculemos a norma de \mathbf{v}=(-5,-2,0,-4):
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-5)^2+(-2)^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{25+4+0+16}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.

Passo 5

Fórmula que relaciona produto escalar e ângulo: para \mathbf{u},\mathbf{v}\neq\mathbf{0},
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Substituindo os valores encontrados:
\cos\theta=\frac{-23}{\sqrt{39}\,\sqrt{45}}=\frac{-23}{\sqrt{1755}}=\frac{-23}{3\sqrt{195}}.

Passo 6

Vamos aproximar numericamente \cos\theta para comparar com cossenos de ângulos-padrão. Calculando numericamente:
\cos\theta\approx\frac{-23}{\sqrt{1755}}\approx-0{,}5489.
Lembre que no intervalo [0,\pi] a função \cos é decrescente, então valores de \cos menores (mais negativos) correspondem a ângulos maiores. Alguns cossenos conhecidos:
\cos\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5,
\cos\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=\cos(135^\circ)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx-0{,}7071.
Observamos que
-0{,}7071\;(<)\;-0{,}5489\;(<)\;-0{,}5,
ou seja \cos\theta está entre \cos\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) e \cos\left(\tfrac{2\pi}{3}\right). Como \cos é decrescente em [0,\pi], isso implica
\tfrac{2\pi}{3}<\theta<\tfrac{3\pi}{4}.
Em graus, \theta\approx 123{,}3^\circ, que confirma estar entre 120^\circ e 135^\circ.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, o intervalo que contém \theta é exatamente
\left(\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{3\pi}{4}\right],
que corresponde à alternativa marcada como (V) no enunciado.

Resposta

(V)

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