Dados vetores arbitrários \vec{u}, \vec{v} \in V, onde V é um espaço vetorial, prove que
\vec{v}+\vec{u}=\vec{u}+\vec{v},
ou seja, prove que vale a propriedade comutativa da adição entre vetores. Se for preciso considere que sejam válidas outras propriedades da adição, por exemplo, existência de elemento neutro, entre outras que eventualmente forem necessárias.

Passo 1

Enunciado resumido: temos vetores arbitrários \vec{u},\vec{v}\in V, sendo V um espaço vetorial. O pedido é provar que
\vec{v}+\vec{u}=\vec{u}+\vec{v},
isto é, provar a propriedade comutativa da adição entre vetores. Informações que podemos usar: podemos considerar válidas outras propriedades da adição (por exemplo, existência de elemento neutro, inverso aditivo, associatividade etc.) sempre que necessário.

Passo 2

O que significa trabalhar num espaço vetorial em relação à adição? Vou explicar com calma os axiomas relevantes da operação + em V. A operação + é uma função que, a cada par (\vec{x},\vec{y})\in V\times V, associa um vetor \vec{x}+\vec{y}\in V. Entre as propriedades que usualmente se exigem estão:
\begin{aligned} &\text{(Fechamento)}\quad \vec{x}+\vec{y}\in V\quad\text{para todo }\vec{x},\vec{y}\in V,\\\ &\text{(Associatividade)}\quad (\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}=\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z})\quad\text{para todo }\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in V,\\\ &\text{(Elemento neutro)}\quad\text{existe }\vec{0}\in V\text{ tal que }\vec{x}+\vec{0}=\vec{x}\quad\text{para todo }\vec{x}\in V,\\\ &\text{(Inverso aditivo)}\quad\text{para todo }\vec{x}\in V\text{ existe }-\vec{x}\in V\text{ com }\vec{x}+(-\vec{x})=\vec{0},\\\ &\text{(Comutatividade)}\quad \vec{x}+\vec{y}=\vec{y}+\vec{x}\quad\text{para todo }\vec{x},\vec{y}\in V. \end{aligned}
Cada linha é uma propriedade que descreve como a adição se comporta. Note que a última linha é exatamente a comutatividade, que afirma que a ordem na soma não importa.

Passo 3

Se o seu curso/utilizado definir espaço vetorial da maneira padrão, então a comutatividade da adição faz parte dos axiomas: a estrutura (V,+) é um grupo abeliano (ou seja, um grupo cujo operador é comutativo). Nessa definição, a prova é imediata: como \vec{u},\vec{v}\in V são quaisquer vetores de V, aplica-se o axioma da comutatividade e obtemos diretamente
\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}.
Trocar os lados da igualdade dá exatamente o que se pedia:
\vec{v}+\vec{u}=\vec{u}+\vec{v}.

Passo 4

Quero ser honesto e didático: se alguém só te deu as propriedades de fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos (ou seja, só que (V,+) é um grupo, mas não disse que é abeliano), então não é possível deduzir a comutatividade a partir dessas propriedades isoladas. Em palavras simples: associatividade + neutro + inverso não implicam comutatividade. Para ver que essa dedução não existe em geral, basta lembrar que existem muitos grupos não comutativos (grupos “não-abelianos”); um exemplo clássico é o grupo das permutações de três elementos S_3 com a composição de permutações (aqui a operação não é chamada de “adição”, mas mostra que a sintaxe “associatividade + neutro + inverso” pode ocorrer sem comutatividade). Concretamente, em S_3 podemos tomar \sigma=(1\,2) e \tau=(1\,2\,3) e verificar que \sigma\circ\tau\neq\tau\circ\sigma. Logo, se a definição que você recebeu NÃO inclui comutatividade, então não há prova do enunciado puramente a partir das outras propriedades — a comutatividade precisa ser assumida.

Passo 5

Conclusão prática para a prova na prova (respire, você consegue): na definição padrão de espaço vetorial usada em álgebra linear, a adição de vetores é definida como comutativa. Portanto, para quaisquer \vec{u},\vec{v}\in V vale, por axioma, que
\vec{v}+\vec{u}=\vec{u}+\vec{v}.
Se no enunciado da sua disciplina aparecerem explicitamente os axiomas do espaço vetorial, procure ali “comutatividade da adição” — é exatamente isso que se aplica.

Resposta

\vec{v}+\vec{u}=\vec{u}+\vec{v}

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