Dados vetores arbitrários
, onde
é um espaço vetorial, prove que
ou seja, prove que vale a propriedade comutativa da adição entre vetores. Se for preciso considere que sejam válidas outras propriedades da adição, por exemplo, existência de elemento neutro, entre outras que eventualmente forem necessárias.
Passo 1
Enunciado resumido: temos vetores arbitrários
, sendo
um espaço vetorial. O pedido é provar que
isto é, provar a propriedade comutativa da adição entre vetores. Informações que podemos usar: podemos considerar válidas outras propriedades da adição (por exemplo, existência de elemento neutro, inverso aditivo, associatividade etc.) sempre que necessário.
Passo 2
O que significa trabalhar num espaço vetorial em relação à adição? Vou explicar com calma os axiomas relevantes da operação
em
. A operação
é uma função que, a cada par
, associa um vetor
. Entre as propriedades que usualmente se exigem estão:
Cada linha é uma propriedade que descreve como a adição se comporta. Note que a última linha é exatamente a comutatividade, que afirma que a ordem na soma não importa.
Passo 3
Se o seu curso/utilizado definir espaço vetorial da maneira padrão, então a comutatividade da adição faz parte dos axiomas: a estrutura
é um grupo abeliano (ou seja, um grupo cujo operador é comutativo). Nessa definição, a prova é imediata: como
são quaisquer vetores de
, aplica-se o axioma da comutatividade e obtemos diretamente
Trocar os lados da igualdade dá exatamente o que se pedia:
Passo 4
Quero ser honesto e didático: se alguém só te deu as propriedades de fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos (ou seja, só que
é um grupo, mas não disse que é abeliano), então não é possível deduzir a comutatividade a partir dessas propriedades isoladas. Em palavras simples: associatividade + neutro + inverso não implicam comutatividade. Para ver que essa dedução não existe em geral, basta lembrar que existem muitos grupos não comutativos (grupos “não-abelianos”); um exemplo clássico é o grupo das permutações de três elementos
com a composição de permutações (aqui a operação não é chamada de “adição”, mas mostra que a sintaxe “associatividade + neutro + inverso” pode ocorrer sem comutatividade). Concretamente, em
podemos tomar
e
e verificar que
. Logo, se a definição que você recebeu NÃO inclui comutatividade, então não há prova do enunciado puramente a partir das outras propriedades — a comutatividade precisa ser assumida.
Passo 5
Conclusão prática para a prova na prova (respire, você consegue): na definição padrão de espaço vetorial usada em álgebra linear, a adição de vetores é definida como comutativa. Portanto, para quaisquer
vale, por axioma, que
Se no enunciado da sua disciplina aparecerem explicitamente os axiomas do espaço vetorial, procure ali “comutatividade da adição” — é exatamente isso que se aplica.