Encontre a matriz inversa de \underset{\sim}{C}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) através do método de escalonamento (Gauss-Jordan), utilizando a matriz aumentada [\underset{\sim}{C} \mid \underset{\sim}{I}].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
\underset{\sim}{C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
usando o método de Gauss–Jordan. O objetivo é montar a matriz aumentada
\bigl[\underset{\sim}{C}\mid\underset{\sim}{I}\bigr]
e aplicar operações elementares de linha até transformá-la em
\bigl[\underset{\sim}{I}\mid \underset{\sim}{C}^{-1}\bigr].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos o elemento abaixo do pivô na coluna 1 fazendo
R_{2}\gets R_{2}-R_{1}.
Isso produz
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Usamos o pivô em (2,2)=1 e eliminamos o elemento na mesma coluna em R_{3} fazendo
R_{3}\gets R_{3}-R_{2}.
Fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Normalizamos o pivô em (3,3) dividindo R_{3} por 2:
R_{3}\gets \tfrac12\,R_{3},
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12 \end{array}\right].

Passo 6

Eliminamos os termos acima do pivô em (3,3):
R_{1}\gets R_{1}-R_{3}, \quad R_{2}\gets R_{2}+R_{3}.
Assim a parte esquerda fica a identidade e a direita a inversa:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12 \end{array}\right].

Resposta

\underset{\sim}{C}^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12\\\\ -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

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