Verifique se a matriz \underset{\sim}{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ -2 & 2 & 1\end{array}\right) é a inversa da matriz \underset{\sim}{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1\end{array}\right), calculando o produto \underset{\sim}{A} \cdot \underset{\sim}{B}.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}
e pede para verificar se B é a inversa de A. Para isso, precisamos calcular o produto AB e checar se ele resulta na matriz identidade I_{3}. O conteúdo usado é multiplicação de matrizes e a propriedade de matriz inversa.

Passo 2

Relembrando a definição, o elemento (AB)_{ij} do produto é dado por
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{kj}.
Vamos aplicar essa soma para cada linha i de A e cada coluna j de B.

Passo 3

Cálculo da primeira linha de AB:
\begin{aligned} (AB)_{11} &= 2\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot(-2) = 2+1-2 = 1,\\\ (AB)_{12} &= 2\cdot(-1) + 1\cdot0 + 1\cdot2 = -2+0+2 = 0,\\\ (AB)_{13} &= 2\cdot0 + 1\cdot(-1) + 1\cdot1 = 0-1+1 = 0. \end{aligned}

Passo 4

Cálculo da segunda linha de AB:
\begin{aligned} (AB)_{21} &= 1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot(-2) = 1+1-2 = 0,\\\ (AB)_{22} &= 1\cdot(-1) + 1\cdot0 + 1\cdot2 = -1+0+2 = 1,\\\ (AB)_{23} &= 1\cdot0 + 1\cdot(-1) + 1\cdot1 = 0-1+1 = 0. \end{aligned}

Passo 5

Cálculo da terceira linha de AB:
\begin{aligned} (AB)_{31} &= 2\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot(-2) = 2+0-2 = 0,\\\ (AB)_{32} &= 2\cdot(-1) + 0\cdot0 + 1\cdot2 = -2+0+2 = 0,\\\ (AB)_{33} &= 2\cdot0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot1 = 0+0+1 = 1. \end{aligned}

Passo 6

Com esses resultados, o produto fica
AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_{3}.
Como AB = I_{3}, concluímos que B é de fato a inversa de A.

Resposta

Como AB = I_{3}, a matriz
B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}
é a inversa de
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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