Queremos uma matriz P ortogonal (ou seja, P^{-1}=P^{T}) que diagonalize A.
Isso significa encontrar uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A; as colunas de P serão esses autovetores unitários, e P^{T}AP será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal.
Passo 2
Estratégia e conceitos usados (aula rápida): como A é uma matriz simétrica (note que A^{T}=A), vale o Teorema Espectral: existe uma matriz ortogonal P que diagonaliza A. Para construir P precisamos:
Encontrar os autovalores de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0.
Para cada autovalor, encontrar a base do espaço próprio (autovetores).
Ortonormalizar um conjunto de autovetores (Gram–Schmidt se necessário) e normalizar cada vetor para obter uma base ortonormal. Essas serão as colunas de P.
Agora calculamos o polinômio característico.
Passo 3
Calculemos \det(A-\lambda I). Montamos A-\lambda I e a determinante:
Resolvendo o sistema linear (redução ou inspeção) achamos a solução
v_{3}=(-1,\,2,\,1)^{T}
para \lambda=-9 (verificável: A v_{3}=-9 v_{3}). Normalizando v_{3}: seu comprimento é \sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}. Então o autovetor unitário associado é
As linhas são proporcionais, então o espaço próprio tem dimensão 2. Da equação essencial -2x+4y+2z=0 obtemos x=2y+z. Portanto uma base simples do espaço próprio é dada pelos vetores
Multiplicando por 5 para simplificar direcionalmente, temos vetor proporcional (1,-2,5)^{T}. O seu comprimento é \sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}. Normalizando obtemos
Verificação rápida: e_{1}, e_{2} são ortogonais entre si e ambos são ortogonais a e_{3} (isto decorre do fato de A ser simétrica, mas podemos checar produto interno e obter zero).
Passo 7
Montagem da matriz ortogonal P. Colocamos como colunas os autovetores unitários e_{1},e_{2},e_{3}. Assim: