A sequência \big((1+1/n)^{n}\big)_{n\ge1} converge para \,e.
O que precisamos mostrar é que a sequência \big((1+1/n)^{2n}\big)_{n\ge1} converge para \,e^{2}.
Passo 2
Observação algébrica simples e útil: para todo n tem-se
(1+1/n)^{2n}=\big((1+1/n)^{n}\big)^{2}.
Vamos definir, para simplificar a notação,
x_n:=\big(1+\tfrac{1}{n}\big)^{n}.
Então o que queremos provar fica mais claro: mostrar que x_n^2\to e^2 sabendo que x_n\to e.
Passo 3
Estratégia de prova (modo \varepsilon-N, a forma padrão de provar convergência): tomar um \varepsilon>0 qualquer e encontrar um N tal que, para todo n\ge N,
Portanto, para controlar \big|x_n^2-e^2\big| precisamos controlar \big|x_n-e\big| (que sabemos que vai a zero) e também ter um limite superior razoável para \big|x_n+e\big|.
Passo 4
Como x_n\to e, existe N_1 tal que, para todo n\ge N_1,
\big|x_n-e\big|<1.
Isto implica, para n\ge N_1,
x_n<e+1 \quad\text{e}\quad x_n>e-1.
Em particular x_n+e<2e+1. Assim, para todo n\ge N_1 temos a estimativa
\big|x_n+e\big|\le 2e+1.
Passo 5
Agora usemos a convergência x_n\to e outra vez para controlar \big|x_n-e\big|. Como x_n\to e, existe N_2 tal que, para todo n\ge N_2,
\big|x_n-e\big|<\frac{\varepsilon}{2e+1}.
Tomando N=\max\{N_1,N_2\}, para todo n\ge N juntamos as desigualdades:
Comentário didático e intuitivo: a prova acima é a versão \varepsilon-N da propriedade conhecida de que a função f(x)=x^2 é contínua em \mathbb{R}. A continuidade diz que, se x_n\to e, então f(x_n)=x_n^2\to f(e)=e^2. A demonstração por estimativa que fizemos é exatamente a tradução dessa propriedade em termos de \varepsilon-N, sem usar a palavra “continuidade” como atalho.