Um medidor Venturi foi instalado em dada canalização para medir vazão de água que ela conduzia. Sabendo-se que os diâmetros maior e menor do Venturi eram 250 mm e 125 mm , respectivamente, e que a diferença entre as elevações dos níveis d’água para cada vazão é igual a apresentada na tabela, calcule a curva de vazão por elevação teórica para este Venturi.
Elevação Vazão teórica
1500 mm
1250 mm
1000 mm
750 mm
500 mm

Passo 1

O enunciado pede para calcular a relação entre a diferença de elevação dos níveis d’água medida pelo manômetro do Venturi e a vazão teórica que passa pela tubulação, para as elevações listadas na tabela. Dados fornecidos:
D_1 = 250\\ \text{mm} = 0{,}250\\ \text{m},
D_2 = 125\\ \text{mm} = 0{,}125\\ \text{m},
as diferenças de elevação (que chamaremos de \,h\,) são:
h = 1500\\ \text{mm} = 1{,}500\\ \text{m},
h = 1250\\ \text{mm} = 1{,}250\\ \text{m},
h = 1000\\ \text{mm} = 1{,}000\\ \text{m},
h = 750\\ \text{mm} = 0{,}750\\ \text{m},
h = 500\\ \text{mm} = 0{,}500\\ \text{m}.
Nenhuma outra informação foi fornecida (assumiremos água incompressível com densidade \rho e aceleração da gravidade g padrão). A tarefa é calcular a vazão teórica Q correspondente a cada \,h.

Passo 2

Princípio físico e fórmulas fundamentais (explicação didática):
  • Continuidade (conservação de massa para escoamento estacionário e incompressível): a vazão volumétrica Q é a mesma em qualquer seção:
Q = A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A_i é a área da seção e v_i a velocidade média nessa seção.
  • Bernoulli entre a seção 1 (entrada maior) e a seção 2 (garganta): desprezando perdas, temos
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Subtraindo e dividindo por \rho g obtemos a diferença de carga (a altura lida pelo manômetro), que chamamos de \,h\,:
h = \frac{p_1-p_2}{\rho g} = \frac{1}{2g}\bigl(v_2^2 - v_1^2\bigr).
  • Usando continuidade v_1 = \dfrac{A_2}{A_1}v_2, substituímos em h para obter v_2 em função de h:
h = \frac{1}{2g}\,v_2^2\left(1-\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\right).
Despejando v_2:
v_2 = \sqrt{\frac{2g\,h}{\,1-\left(\dfrac{A_2}{A_1}\right)^2\,}}.
Finalmente, a vazão teórica (ideal, sem coeficiente de descarga) é
Q = A_2\,v_2 = A_2\sqrt{\frac{2g\,h}{\,1-\left(\dfrac{A_2}{A_1}\right)^2\,}}.
Explicação das variáveis:
  • \,A_1, A_2 são áreas das seções maior (entrada) e menor (garganta): A=\dfrac{\pi D^2}{4}.
  • \,v_1, v_2 são velocidades médias nas seções.
  • \,h é a diferença de nível lida pelo manômetro (m).
  • \,g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
    Observação: isso é a expressão teórica (ideal). Na prática existe um coeficiente de descarga C_d<1, mas aqui o enunciado pede a vazão teórica, então usaremos C_d=1.

Passo 3

Cálculo das áreas e do fator geométrico:
  • Calcule A_1 e A_2:
A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi(0{,}250)^2}{4},
A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi(0{,}125)^2}{4}.
Vamos calcular numericamente:
D_1^2 = (0{,}250)^2 = 0{,}0625,
D_2^2 = (0{,}125)^2 = 0{,}015625,
A_1 = \frac{\pi\cdot 0{,}0625}{4} = 0{,}015625\pi \approx 0{,}049087385\\ \mathrm{m^2},
A_2 = \frac{\pi\cdot 0{,}015625}{4} = 0{,}00390625\pi \approx 0{,}012271846\\ \mathrm{m^2}.
  • Calcule a razão de áreas:
\frac{A_2}{A_1} = \frac{0{,}00390625\pi}{0{,}015625\pi} = \frac{0{,}00390625}{0{,}015625} = 0{,}25.
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1-\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2 = 1 - (0{,}25)^2 = 1 - 0{,}0625 = 0{,}9375.

Passo 4

Montagem da expressão numérica para Q e fator multiplicador:
A expressão geral
Q = A_2\sqrt{\frac{2g\,h}{\,1-\left(\dfrac{A_2}{A_1}\right)^2\,}}
torna-se, substituindo os valores conhecidos de A_2, g e o denominador:
Q = 0{,}012271846\;\sqrt{\frac{2\cdot 9{,}81\;h}{0{,}9375}}.
Calcule o fator que multiplica \sqrt{h}:
\sqrt{\frac{2\cdot 9{,}81}{0{,}9375}} = \sqrt{20{,}928} \approx 4{,}574710978,
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Q \approx 0{,}012271846 \times 4{,}574710978 \times \sqrt{h}
Q \approx 0{,}056128226\;\sqrt{h},
onde h está em metros e Q em \mathrm{m^3/s}. Para facilitar leitura, também podemos dar Q em litros por segundo (L/s) lembrando 1\\ \mathrm{m^3/s}=1000\\ \mathrm{L/s}.

Passo 5

Cálculo numérico da vazão para cada elevação dada (usar Q\approx 0{,}056128226\sqrt{h}, h em metros). Vou mostrar passo a passo para cada valor de h.
Para h=1{,}500\\ \mathrm{m}:
\sqrt{h}=\sqrt{1{,}500}\approx 1{,}224744871,
Q \approx 0{,}056128226\times 1{,}224744871 \approx 0{,}068728810\\ \mathrm{m^3/s}.
Em L/s: Q\approx 68{,}729\\ \mathrm{L/s}.
Para h=1{,}250\\ \mathrm{m}:
\sqrt{h}=\sqrt{1{,}250}\approx 1{,}118033989,
Q \approx 0{,}056128226\times 1{,}118033989 \approx 0{,}062716760\\ \mathrm{m^3/s}.
Em L/s: Q\approx 62{,}717\\ \mathrm{L/s}.
Para h=1{,}000\\ \mathrm{m}:
\sqrt{h}=\sqrt{1{,}000}=1,
Q \approx 0{,}056128226\times 1 = 0{,}056128226\\ \mathrm{m^3/s}.
Em L/s: Q\approx 56{,}128\\ \mathrm{L/s}.
Para h=0{,}750\\ \mathrm{m}:
\sqrt{h}=\sqrt{0{,}750}\approx 0{,}866025404,
Q \approx 0{,}056128226\times 0{,}866025404 \approx 0{,}048614106\\ \mathrm{m^3/s}.
Em L/s: Q\approx 48{,}614\\ \mathrm{L/s}.
Para h=0{,}500\\ \mathrm{m}:
\sqrt{h}=\sqrt{0{,}500}\approx 0{,}707106781,
Q \approx 0{,}056128226\times 0{,}707106781 \approx 0{,}039665197\\ \mathrm{m^3/s}.
Em L/s: Q\approx 39{,}665\\ \mathrm{L/s}.

Resposta

1500 mm: 0{,}0687288\\ \mathrm{m^3/s} = 68{,}7288\\ \mathrm{L/s}
1250 mm: 0{,}0627168\\ \mathrm{m^3/s} = 62{,}7168\\ \mathrm{L/s}
1000 mm: 0{,}0561282\\ \mathrm{m^3/s} = 56{,}1282\\ \mathrm{L/s}
750 mm: 0{,}0486141\\ \mathrm{m^3/s} = 48{,}6141\\ \mathrm{L/s}
500 mm: 0{,}0396652\\ \mathrm{m^3/s} = 39{,}6652\\ \mathrm{L/s}

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