Encontre a matriz de uma projeção ortogonal em R^{3} sobre o subespaço gerado pelos vetores (1,0,0) e (0,1,1).
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
Pede: encontrar a matriz da projeção ortogonal em \mathbb{R}^{3} sobre o subespaço gerado pelos vetores (1,0,0) e (0,1,1).
Dados relevantes:
Vetor \mathbf{v}_1 = (1,0,0).
Vetor \mathbf{v}_2 = (0,1,1).
O subespaço é \mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}.
Objetivo operacional: produzir a matriz P (tamanho \,3\times3) tal que, para qualquer \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{3}, P\mathbf{x} é a projeção ortogonal de \mathbf{x} nesse subespaço.
Passo 2
Ideia e fórmula padrão para projeção ortogonal no espaço gerado por colunas de uma matriz.
Se uma matriz A (de tamanho \,3\times2) tem colunas que formam uma base do subespaço alvo, então a projeção ortogonal sobre a coluna-espaço de A é dada por
P = A\,(A^{T}A)^{-1}A^{T}.
Explicação didática dessa fórmula (intuição):
Queremos, para dado \mathbf{x}, um vetor A\mathbf{c} (com coeficientes \mathbf{c}\in\mathbb{R}^{2}) que minimize \|\mathbf{x}-A\mathbf{c}\|^{2}. As equações normais dessa minimização dão A^{T}A\,\mathbf{c}=A^{T}\mathbf{x}.
Como as colunas são linearmente independentes, A^{T}A é invertível e \mathbf{c}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}\mathbf{x}. Então a projeção é A\mathbf{c}=A(A^{T}A)^{-1}A^{T}\mathbf{x}.
Dessa forma a matriz que transforma \mathbf{x} em sua projeção é exatamente P=A(A^{T}A)^{-1}A^{T}.
Passo 3
Escolher a matriz A cujas colunas são os geradores do subespaço.
Isso bate com a ideia geométrica: a componente na direção \mathbf{v}_1 fica x (pois \mathbf{v}_1 é o eixo x), e nas direções combinadas de \mathbf{v}_2 a projeção igualiza as componentes y e z pela média \tfrac{y+z}{2}.
Propriedades de projetor ortogonal (verificação rápida):
P é simétrica: P^{T}=P.
P é idempotente: P^{2}=P.
Essas propriedades confirmam que P é de fato uma projeção ortogonal.]