Encontre a matriz de uma projeção ortogonal em R^{3} sobre o subespaço gerado pelos vetores (1,0,0) e (0,1,1).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede: encontrar a matriz da projeção ortogonal em \mathbb{R}^{3} sobre o subespaço gerado pelos vetores (1,0,0) e (0,1,1).
  • Dados relevantes:
    • Vetor \mathbf{v}_1 = (1,0,0).
    • Vetor \mathbf{v}_2 = (0,1,1).
    • O subespaço é \mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}.
  • Objetivo operacional: produzir a matriz P (tamanho \,3\times3) tal que, para qualquer \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{3}, P\mathbf{x} é a projeção ortogonal de \mathbf{x} nesse subespaço.

Passo 2

Ideia e fórmula padrão para projeção ortogonal no espaço gerado por colunas de uma matriz.
  • Se uma matriz A (de tamanho \,3\times2) tem colunas que formam uma base do subespaço alvo, então a projeção ortogonal sobre a coluna-espaço de A é dada por
P = A\,(A^{T}A)^{-1}A^{T}.
  • Explicação didática dessa fórmula (intuição):
    • Queremos, para dado \mathbf{x}, um vetor A\mathbf{c} (com coeficientes \mathbf{c}\in\mathbb{R}^{2}) que minimize \|\mathbf{x}-A\mathbf{c}\|^{2}. As equações normais dessa minimização dão A^{T}A\,\mathbf{c}=A^{T}\mathbf{x}.
    • Como as colunas são linearmente independentes, A^{T}A é invertível e \mathbf{c}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}\mathbf{x}. Então a projeção é A\mathbf{c}=A(A^{T}A)^{-1}A^{T}\mathbf{x}.
    • Dessa forma a matriz que transforma \mathbf{x} em sua projeção é exatamente P=A(A^{T}A)^{-1}A^{T}.

Passo 3

Escolher a matriz A cujas colunas são os geradores do subespaço.
  • Tome
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é \mathbf{v}_1 e a segunda é \mathbf{v}_2.
  • Observação: A tem tamanho \,3\times2 e suas colunas são linearmente independentes (pois \mathbf{v}_1 não é múltiplo de \mathbf{v}_2).]

Passo 4

Calcular A^{T}A.
  • Calculemos produto de 2\times3 por 3\times2:
A^{T}A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Os elementos são produtos escalares das colunas:
    • (A^{T}A)_{11}=\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_1=1.
    • (A^{T}A)_{12}=\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=0.
    • (A^{T}A)_{22}=\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_2=1+1=2.
  • Logo
A^{T}A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Inverter A^{T}A.
  • A matriz é diagonal, então a inversa é simplesmente os inversos dos elementos diagonais:
(A^{T}A)^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular B = A\,(A^{T}A)^{-1}.
  • Multiplicando A pela inversa diagonal, a segunda coluna é escalada por \tfrac{1}{2}:
B = A\,(A^{T}A)^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular P = B A^{T} = A\,(A^{T}A)^{-1}A^{T}.
  • Agora multiplique B (tamanho \,3\times2) por A^{T} ( 2\times3):
A^{T}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}.
  • Produto linha a linha (mostrando cada linha resultante):
    • Primeira linha de P: [1\\ \\\ 0]\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix} = [1,0,0].
    • Segunda linha de P: [0\\ \tfrac{1}{2}]\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix} = [0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}].
    • Terceira linha de P: mesma que a segunda: [0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}].
  • Assim
P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Interpretação da matriz e verificação rápida.
  • A matriz P projeta um vetor \mathbf{x}=(x,y,z) em
P\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\[4pt] \tfrac{y+z}{2}\\[4pt] \tfrac{y+z}{2} \end{pmatrix}.
  • Isso bate com a ideia geométrica: a componente na direção \mathbf{v}_1 fica x (pois \mathbf{v}_1 é o eixo x), e nas direções combinadas de \mathbf{v}_2 a projeção igualiza as componentes y e z pela média \tfrac{y+z}{2}.
  • Propriedades de projetor ortogonal (verificação rápida):
    • P é simétrica: P^{T}=P.
    • P é idempotente: P^{2}=P.
    • Essas propriedades confirmam que P é de fato uma projeção ortogonal.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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