Determine se a transformação linear T: R^{4} \rightarrow R^{4} é injetiva, sobrejetiva ou ambas. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece apenas que T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} é uma transformação linear.
O que se pede: decidir se T é injetiva, sobrejetiva ou ambas, e justificar.
Informações relevantes dadas:
Domínio: \mathbb{R}^{4}.
Contradomínio: \mathbb{R}^{4}.
Sabe-se apenas que T é linear.
Informação que falta (necessária para determinar a resposta): a regra explícita de T (por exemplo a fórmula, ou a matriz de T na base canônica). Sem essa informação não há valores numéricos de imagem, kernel ou posto disponíveis.
Passo 2
Definições básicas (devagar e com exemplos):
Uma transformação linear T é injetiva quando imagens de vetores diferentes são diferentes; em termos do núcleo: T é injetiva se, e somente se, \ker T=\{0\}. Aqui \ker T=\{v\in\mathbb{R}^{4}\mid T(v)=0\}.
T é sobrejetiva quando a imagem de T é todo o contradomínio: \operatorname{im} T=\mathbb{R}^{4}.
Para transformar isso em algo verificável, usamos dimensões e o posto (rank). O posto de T é \operatorname{rank}(T)=\dim(\operatorname{im} T).
Exemplo rápido e intuitivo:
Se T é a identidade, T(v)=v, então \ker T=\{0\} e \operatorname{im} T=\mathbb{R}^{4}: é injetiva e sobrejetiva (bijetiva).
Se T é a transformação zero, T(v)=0 para todo v, então \ker T=\mathbb{R}^{4} e \operatorname{im} T=\{0\}: nem injetiva nem sobrejetiva.
Passo 3
Teorema fundamental que usamos: Teorema do posto-nulo (rank–nullity).
Ele diz para uma transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4}:
\dim(\ker T) + \dim(\operatorname{im} T) = 4.
Aqui \dim(\operatorname{im} T)=\operatorname{rank}(T) e \dim(\ker T) é a nulidade.
Consequências imediatas:
T é injetiva \iff\dim(\ker T)=0\iff\operatorname{rank}(T)=4.
T é sobrejetiva \iff\dim(\operatorname{im} T)=4\iff\operatorname{rank}(T)=4.
Portanto, no contexto de \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} linear:
Ou seja, ou T tem posto máximo 4 e é bijetiva, ou tem posto menor que 4 e então é simultaneamente não injetiva e não sobrejetiva.
Passo 4
Como verificar na prática (passo-a-passo que você pode aplicar na prova):
Escreva a matriz A de T na base canônica (matriz 4\times4).
Se no enunciado der T(e_i) para vetores da base, cada coluna da matriz é T(e_i).
Faça eliminação de Gauss (redução a escada) na matriz A para encontrar o número de linhas/colunas pivô — esse número é \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(T).
Se ao final houver 4 pivôs (posto 4), então T é bijetiva (injetiva e sobrejetiva).
Se houver posto <4, então T não é injetiva nem sobrejetiva.
Alternativa rápida: mostrar que \ker T=\{0\} resolvendo T(v)=0. Se a única solução é v=0, então é injetiva (logo sobrejetiva também). Se existir vetor não nulo no kernel, então não é injetiva (nem sobrejetiva).
Aqui há apenas 3 pivôs \Rightarrow \operatorname{rank}(A)=3<4. Pela fórmula do passo 3, \dim(\ker T)=1. Então T não é injetiva nem sobrejetiva.
Exemplo 3 (zero): A=0_{4\times4}. Então \operatorname{rank}(A)=0, \dim(\ker T)=4. Nem injetiva nem sobrejetiva.
Esses exemplos mostram que, para mapas lineares \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4}, não existe a possibilidade de ser só injetiva sem ser sobrejetiva (nem só sobrejetiva sem ser injetiva): as duas propriedades são equivalentes e equivalem ao posto máximo.]
Passo 6
Conclusão prática para o seu exercício: com a informação que foi dada (apenas que T é linear de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R}^{4}) NÃO É POSSÍVEL afirmar se T é injetiva ou sobrejetiva. É preciso a matriz de T (ou a regra explícita) para calcular \operatorname{rank}(T) ou \ker T. Se você me der a matriz ou a regra de T, eu sigo a redução e te mostro passo a passo se é injetiva/sobrejetiva e por quê — com todos os cálculos explicados.
Resposta
Não é possível determinar com os dados fornecidos; falta a regra ou a matriz de T. Em \mathbb{R}^4 uma transformação linear é injetiva se, e somente se, sobrejetiva; isso ocorre exatamente quando \operatorname{rank}(T)=4.