No espaço vetorial bidimensional
, encontre uma base ortogonal para o subespaço gerado pelos vetores
e
. Verifique se essa base é uma base ortonormal.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
:
Pede-se:
- encontrar uma base ortogonal para o subespaço gerado por
e (ou seja, um conjunto de vetores linearmente independentes e mutuamente ortogonais que geram o mesmo subespaço); - verificar se essa base é ortonormal.
Passo 2
Conteúdo necessário (explicado de forma simples):
- Produto interno (produto escalar) em
: para e ,
- Dois vetores são ortogonais se
. - Norma de
: . - Base ortonormal: vetores mutuamente ortogonais e de norma
. - Método prático para obter uma base ortogonal a partir de
: o processo de Gram–Schmidt. A ideia é manter e definir
onde
Isso garante
, ou seja, ortogonalidade.
Passo 3
Começando o Gram–Schmidt: tomo
Calculo
:
Passo 4
Calculo a projeção de
sobre
. Primeiro o produto
:
Logo
Passo 5
Agora obtenho
:
Para evitar frações e manter a mesma direção (escala não altera ortogonalidade nem o espaço gerado), multiplico por
e uso o vetor equivalente
Então proponho o conjunto
como candidata a base ortogonal.
Passo 6
Verificação da ortogonalidade: calculo o produto escalar entre
e
:
Portanto os vetores são ortogonais. Além disso são linearmente independentes (vetores não-nulos e ortogonais em
), logo formam uma base do subespaço gerado por
e
(na verdade geram todo
porque são dois vetores linearmente independentes em
).
Passo 7
Agora verificar se a base é ortonormal: calculo as normas.
Para :
Para
Para
:
Como as normas não são
, a base
não é ortonormal.
Passo 8
Se for desejado ter uma base ortonormal associada, normaliza-se cada vetor dividindo pela sua norma. Para
:
Para
observe que
, logo
Confirmação rápida:
e
. Assim
é uma base ortonormal.