No espaço vetorial bidimensional R^{2}, encontre uma base ortogonal para o subespaço gerado pelos vetores \mathrm{u}=(2,1) e \mathrm{v}=(-1,3). Verifique se essa base é uma base ortonormal.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^2:
\mathrm{u}=(2,1),\qquad \mathrm{v}=(-1,3).
Pede-se:
  • encontrar uma base ortogonal para o subespaço gerado por \mathrm{u} e \mathrm{v} (ou seja, um conjunto de vetores linearmente independentes e mutuamente ortogonais que geram o mesmo subespaço);
  • verificar se essa base é ortonormal.

Passo 2

Conteúdo necessário (explicado de forma simples):
  • Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^2: para \mathrm{a}=(a_1,a_2) e \mathrm{b}=(b_1,b_2),
\langle \mathrm{a},\mathrm{b}\rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2.
  • Dois vetores são ortogonais se \langle \mathrm{a},\mathrm{b}\rangle = 0.
  • Norma de \mathrm{a}: \|\mathrm{a}\|=\sqrt{\langle \mathrm{a},\mathrm{a}\rangle}.
  • Base ortonormal: vetores mutuamente ortogonais e de norma 1.
  • Método prático para obter uma base ortogonal a partir de \{\mathrm{u},\mathrm{v}\}: o processo de Gram–Schmidt. A ideia é manter \mathrm{u}_1=\mathrm{u} e definir
\mathrm{u}_2=\mathrm{v}-\operatorname{proj}_{\mathrm{u}_1}\mathrm{v},
onde
\operatorname{proj}_{\mathrm{u}_1}\mathrm{v}=\frac{\langle \mathrm{v},\mathrm{u}_1\rangle}{\langle \mathrm{u}_1,\mathrm{u}_1\rangle}\,\mathrm{u}_1.
Isso garante \langle \mathrm{u}_2,\mathrm{u}_1\rangle=0, ou seja, ortogonalidade.

Passo 3

Começando o Gram–Schmidt: tomo
\mathrm{u}_1=\mathrm{u}=(2,1).
Calculo \langle \mathrm{u}_1,\mathrm{u}_1\rangle:
\langle \mathrm{u}_1,\mathrm{u}_1\rangle = 2^2 + 1^2 = 4+1 = 5.

Passo 4

Calculo a projeção de \mathrm{v} sobre \mathrm{u}_1. Primeiro o produto \langle \mathrm{v},\mathrm{u}_1\rangle:
\langle \mathrm{v},\mathrm{u}_1\rangle = (-1)\cdot 2 + 3\cdot 1 = -2 + 3 = 1.
Logo
\operatorname{proj}_{\mathrm{u}_1}\mathrm{v} = \frac{1}{5}\,\mathrm{u}_1 = \frac{1}{5}(2,1) = \left(\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5}\right).

Passo 5

Agora obtenho \mathrm{u}_2=\mathrm{v}-\operatorname{proj}_{\mathrm{u}_1}\mathrm{v}:
\mathrm{u}_2 = (-1,3) - \left(\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5}\right) = \left(-1-\tfrac{2}{5},\,3-\tfrac{1}{5}\right) = \left(-\tfrac{7}{5},\,\tfrac{14}{5}\right).
Para evitar frações e manter a mesma direção (escala não altera ortogonalidade nem o espaço gerado), multiplico por 5 e uso o vetor equivalente
\tilde{\mathrm{u}}_2 = (-7,14).
Então proponho o conjunto \{\mathrm{u}_1,\tilde{\mathrm{u}}_2\}=\{(2,1),(-7,14)\} como candidata a base ortogonal.

Passo 6

Verificação da ortogonalidade: calculo o produto escalar entre \mathrm{u}_1 e \tilde{\mathrm{u}}_2:
\langle (2,1),(-7,14)\rangle = 2\cdot(-7) + 1\cdot 14 = -14 + 14 = 0.
Portanto os vetores são ortogonais. Além disso são linearmente independentes (vetores não-nulos e ortogonais em \mathbb{R}^2), logo formam uma base do subespaço gerado por \mathrm{u} e \mathrm{v} (na verdade geram todo \mathbb{R}^2 porque são dois vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2).

Passo 7

Agora verificar se a base é ortonormal: calculo as normas.
Para \mathrm{u}_1=(2,1):
\|\mathrm{u}_1\| = \sqrt{5}.
Para \tilde{\mathrm{u}}_2=(-7,14):
\|\tilde{\mathrm{u}}_2\| = \sqrt{(-7)^2 + 14^2} = \sqrt{49 + 196} = \sqrt{245} = 7\sqrt{5}.
Como as normas não são 1, a base \{(2,1),(-7,14)\} não é ortonormal.

Passo 8

Se for desejado ter uma base ortonormal associada, normaliza-se cada vetor dividindo pela sua norma. Para \mathrm{u}_1:
\mathrm{e}_1 = \frac{\mathrm{u}_1}{\|\mathrm{u}_1\|} = \frac{1}{\sqrt{5}}(2,1).
Para \tilde{\mathrm{u}}_2 observe que \tilde{\mathrm{u}}_2=7\cdot(-1,2), logo
\mathrm{e}_2 = \frac{\tilde{\mathrm{u}}_2}{\|\tilde{\mathrm{u}}_2\|} = \frac{7(-1,2)}{7\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-1,2).
Confirmação rápida: \langle \mathrm{e}_1,\mathrm{e}_2\rangle = \dfrac{\langle (2,1),(-1,2)\rangle}{5} = \dfrac{-2+2}{5}=0 e \|\mathrm{e}_1\|=\|\mathrm{e}_2\|=1. Assim \{\mathrm{e}_1,\mathrm{e}_2\} é uma base ortonormal.

Resposta

\{(2,1),(-7,14)\}
\text{Não. Uma base ortonormal associada é }\left\{\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1),\dfrac{1}{\sqrt{5}}(-1,2)\right\}ãé

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