Mostre que se A e B são matrizes n \times n tais que A B=B A, então A^{k} B=B A^{k} para todo k \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B de ordem n\times n e afirma que A e B comutam, isto é,
A B = B A.
O que se pede: provar que
A^{k} B = B A^{k}\quad\text{para todo }k\in\mathbb{N}.

Passo 2

Vamos lembrar definições e propriedades básicas que usaremos:
  • A potência de uma matriz A é definida recursivamente por A^{1}=A e, para m\ge1,
A^{m+1}=A\cdot A^{m}.
  • Multiplicação de matrizes é associativa: para quaisquer matrizes compatíveis, (XY)Z=X(YZ). Isso permite reescrever produtos sem mudar a ordem relativa dos fatores, apenas a forma dos parênteses.
  • Dizer que A e B comutam significa que AB=BA. Essa é a informação essencial que vamos usar repetidamente.

Passo 3

Escolho usar prova por indução em k. Por que indução? Porque a afirmação envolve todos os naturais k e tem uma estrutura que permite avançar de k para k+1 usando a hipótese para k. A prova por indução tem duas etapas: (i) verificar o caso base; (ii) mostrar que, se a propriedade vale para k, então vale para k+1.

Passo 4

Verificamos o caso k=1. Temos
A^{1}B = AB,
e por hipótese AB=BA, logo
A^{1}B = BA = B A^{1}.
(Se alguém considera 0\in\mathbb{N}, pode também checar k=0: A^{0}B=I B=B= B I = B A^{0}.)

Passo 5

Suponha que para um certo k\in\mathbb{N} já provamos que
A^{k}B = B A^{k}.
Essa é a hipótese de indução.

Passo 6

Mostramos que a igualdade vale para k+1. Começamos por A^{k+1}B e vamos manipular usando associatividade e a hipótese de indução:
A^{k+1}B = (A\cdot A^{k})B.
Pela associatividade:
(A\cdot A^{k})B = A\,(A^{k}B).
Pela hipótese de indução A^{k}B = B A^{k}, então
A\,(A^{k}B) = A\,(B A^{k}).
Novamente pela associatividade:
A\,(B A^{k}) = (A B)A^{k}.
Pela hipótese do enunciado AB=BA, portanto
(AB)A^{k} = (BA)A^{k}.
Finalmente, pela associatividade,
(BA)A^{k} = B\,(A A^{k}) = B A^{k+1}.
Juntando todas as igualdades obtemos
A^{k+1}B = B A^{k+1}.
Isso completa o passo indutivo.

Passo 7

Pelo princípio da indução matemática, como o caso base vale e o passo indutivo está provado, concluímos que
A^{k}B = B A^{k}\quad\text{para todo }k\in\mathbb{N}.
Boa! Isso mostra que uma vez que duas matrizes comutam, todas as potências de uma também comutam com a outra.

Resposta

A^{k}B = B A^{k}\quad\text{para todo }k\in\mathbb{N}.

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