Mostre que se
e
são matrizes
tais que
, então
para todo
.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e
de ordem
e afirma que
e
comutam, isto é,
O que se pede: provar que
Passo 2
Vamos lembrar definições e propriedades básicas que usaremos:
- A potência de uma matriz
é definida recursivamente por e, para ,
- Multiplicação de matrizes é associativa: para quaisquer matrizes compatíveis,
. Isso permite reescrever produtos sem mudar a ordem relativa dos fatores, apenas a forma dos parênteses. - Dizer que
e comutam significa que . Essa é a informação essencial que vamos usar repetidamente.
Passo 3
Escolho usar prova por indução em
. Por que indução? Porque a afirmação envolve todos os naturais
e tem uma estrutura que permite avançar de
para
usando a hipótese para
. A prova por indução tem duas etapas: (i) verificar o caso base; (ii) mostrar que, se a propriedade vale para
, então vale para
.
Passo 4
Verificamos o caso
. Temos
e por hipótese
, logo
(Se alguém considera
, pode também checar
:
.)
Passo 5
Suponha que para um certo
já provamos que
Essa é a hipótese de indução.
Passo 6
Mostramos que a igualdade vale para
. Começamos por
e vamos manipular usando associatividade e a hipótese de indução:
Pela associatividade:
Pela hipótese de indução
, então
Novamente pela associatividade:
Pela hipótese do enunciado
, portanto
Finalmente, pela associatividade,
Juntando todas as igualdades obtemos
Isso completa o passo indutivo.
Passo 7
Pelo princípio da indução matemática, como o caso base vale e o passo indutivo está provado, concluímos que
Boa! Isso mostra que uma vez que duas matrizes comutam, todas as potências de uma também comutam com a outra.