Encontre a matriz A tal que (A^T)^-1=[cc1 & -1 -1 & 2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a matriz 1 & -1 -1 & 2 tal que seja igual a . Aqui estamos lidando com matrizes, transposta e inversa de matrizes, que são conceitos de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transposta e a inversa de uma matriz se relacionam e usar algumas propriedades básicas dessas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que (A^T)^-1 = (A^-1)^T é a inversa da transposta de 1 & -1 -1 & 2. Mas há uma propriedade que diz que a transposta da inversa de (A^-1)^T = 1 & -1 -1 & 2 é igual à inversa da transposta de , ou seja:
Isso significa que se sabemos que , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, para achar A^-1 = (1 & -1 -1 & 2)^T = 1 & -1 -1 & 2^T = 1 & -1 -1 & 2 , vamos tirar a transposta de ambos os lados da equação:
Isso porque a matriz dada é simétrica ( ), então a transposta dela é igual a ela própria.

Passo 4

Agora que temos A^-1 = 1 & -1 -1 & 2 , precisamos encontrar a & b c & d que é a inversa dessa matriz. Para isso, vamos calcular a inversa de:
1ad - bc d & -b -c & a
A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Vamos aplicar isso à nossa matriz.

Passo 5

Identificando os elementos:
a = 1, b = -1, c = -1, d = 2
Calculando o determinante ( (1)(2) - (-1)(-1) = 2 - 1 = 1 ):
A = 11 2 & 1 1 & 1 = 2 & 1 1 & 1
Então, a inversa é:

Resposta

A matriz 1 & -1 -1 & 2 que satisfaz A = 2 & 1 1 & 1 é:

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