Encontre a matriz
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a matriz
tal que
seja igual a
. Aqui estamos lidando com matrizes, transposta e inversa de matrizes, que são conceitos de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transposta e a inversa de uma matriz se relacionam e usar algumas propriedades básicas dessas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a inversa da transposta de
. Mas há uma propriedade que diz que a transposta da inversa de
é igual à inversa da transposta de
, ou seja:
Isso significa que se sabemos que
, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, para achar
, vamos tirar a transposta de ambos os lados da equação:
Isso porque a matriz dada é simétrica (
), então a transposta dela é igual a ela própria.
Passo 4
Agora que temos
, precisamos encontrar
que é a inversa dessa matriz. Para isso, vamos calcular a inversa de:
A fórmula para a inversa de uma matriz
é:
Vamos aplicar isso à nossa matriz.
Passo 5
Identificando os elementos:
Calculando o determinante (
):
Então, a inversa é:
Resposta
A matriz
que satisfaz
é: