Sejam A, B, C e D pontos de E^3 e sejam u e v vetores de V^3 tais que A D=5 cdot u, B C=3 cdot u e A B=v.
(1) Faça uma figura na qual estejam representados adequadamente os pontos A, B, C e D e os vetores u e v.
(2) Exprima C D, B D e C A em função de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre pontos no espaço tridimensional ( E^3) e vetores. Precisamos desenhar uma figura com os pontos A, B, C, D e os vetores u e v. Depois, vamos expressar alguns vetores ( CD, BD e CA) usando u e v. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como adição e subtração de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar como desenhar os pontos e vetores.
  • Suponha que o ponto A esteja em alguma posição no espaço.
  • A partir de A, o vetor v vai até B, então B está na direção de v a partir de A.
  • De B, o vetor BC = 3u nos leva até C.
  • De A, o vetor AD = 5u nos leva até D.
Dessa forma, temos todos os pontos conectados pelos vetores u e v.

Passo 3

Agora, vamos expressar CD em termos de u e v.
Primeiro, lembremos que CD = C - D. Mas precisamos relacionar isso com os vetores dados.
Sabemos que:
  • AD = 5u Rightarrow D = A + 5u
  • AB = v Rightarrow B = A + v
  • BC = 3u Rightarrow C = B + 3u = A + v + 3u
Então,
CD = C - D = (A + v + 3u) - (A + 5u) = v + 3u - 5u = v - 2u

Passo 4

Vamos agora encontrar BD.
Usando as posições que já determinamos:
BD = D - B = (A + 5u) - (A + v) = 5u - v

Passo 5

Por último, vamos calcular CA.
Sabendo que CA = A - C, temos:
C = A + v + 3u
Então,
CA = A - (A + v + 3u) = -v - 3u

Resposta

As expressões dos vetores são:
CD = v - 2u
BD = 5u - v
CA = -3u - v

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