Sejam u=[lla & b c & d] e v=[ccp & q t & w] vetores em M(2,2). A expressão
u cdot v=a p+b q+c t+d w
define em M(2,2) um produto interno. Determinar o valor de x de modo que os vetores u=[cc1 & -2 5 & x] e v=[cc3 & 2 1 & -1] sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois “vetores” que, na verdade, são matrizes 2x2: u e v. A gente precisa descobrir o valor de x de forma que esses vetores sejam ortogonais. Ortogonalidade, nesse contexto, significa que o produto interno entre eles é zero. Para isso, vamos usar a fórmula do produto interno que foi dada:
u cdot v = a p + b q + c t + d w

Passo 2

Vamos identificar os elementos das matrizes u e v para aplicar na fórmula do produto interno. Na matriz u:
  • a = 1
  • b = -2
  • c = 5
  • d = x
E na matriz v:
  • p = 3
  • q = 2
  • t = 1
  • w = -1

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do produto interno:
u cdot v = (1)(3) + (-2)(2) + (5)(1) + (x)(-1)
Fazendo as multiplicações:
u cdot v = 3 - 4 + 5 - x

Passo 4

Para que u e v sejam ortogonais, o produto interno precisa ser igual a zero. Então, igualamos a expressão a zero:
3 - 4 + 5 - x = 0
Simplificando:
4 - x = 0

Resposta

x = 4

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