Encontre as matrizes de ordem dois que comutam com
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as matrizes de ordem dois que comutam com
Informações dadas e o que devemos determinar:
- A matriz fixa é
mostrada acima. - Procuramos todas as matrizes
de ordem (com entradas reais) tais que . - Vou tomar a matriz desconhecida genérica
com
, e impor a condição de comutação
. A resolução começa a partir dessa configuração.]
Passo 2
Calcular
. Faço a multiplicação de matrizes normalmente (cada elemento é soma de produtos de linha por coluna):
Passo 3
Calcular
:
Passo 4
Impor
fazendo igualdade termo a termo. Igualando as entradas correspondentes das duas matrizes:
- Entrada
: . Simplifica para
- Entrada
: . Simplifica para
- Entrada
: . Substituindo nesta equação dá , que é identidade (não dá nova informação). - Entrada
: . Substituindo torna-se , também identidade.
Portanto as equações independentes são apenas
e
.
Passo 5
Escrever a família solução usando os parâmetros
e
livres:
Isto é uma família de duas dimensões (dois graus de liberdade).]
Passo 6
Dar uma forma alternativa e interpretar: observe que
Note também que
Assim, escrevendo
para a matriz identidade, temos que qualquer solução pode ser escrita como combinação linear de
e
. Mais explicitamente, tomando parâmetros
, qualquer matriz que comuta com
pode ser escrita como
(Para ver a correspondência com
basta escolher
e
.)]
Passo 7
Breve comentário didático (como usar isso numa prova): o método direto é definir a matriz desconhecida com quatro entradas e impor
, obtendo um sistema linear para as entradas — isto resolve a maior parte dos exercícios elementares. Se quiser uma justificativa teórica: como
tem polinômio mínimo de grau
(os autovalores são complexos conjugados), o conjunto das matrizes reais que comutam com
tem dimensão
e é precisamente o espaço de polinômios em
de grau <2, isto é, combinações lineares de
e
. Mas para a prova basta fazer o cálculo direto como fizemos.