Encontre as matrizes de ordem dois que comutam com \begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ -2 & 1\end{array}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as matrizes de ordem dois que comutam com
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}.
Informações dadas e o que devemos determinar:
  • A matriz fixa é A mostrada acima.
  • Procuramos todas as matrizes X de ordem 2 (com entradas reais) tais que AX = XA.
  • Vou tomar a matriz desconhecida genérica
X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
com a,b,c,d\in\mathbb{R}, e impor a condição de comutação AX=XA. A resolução começa a partir dessa configuração.]

Passo 2

Calcular AX. Faço a multiplicação de matrizes normalmente (cada elemento é soma de produtos de linha por coluna):
AX=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot a + 1\cdot c & 1\cdot b + 1\cdot d \\[4pt] -2\cdot a + 1\cdot c & -2\cdot b + 1\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & b+d \\[4pt] -2a+c & -2b+d \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular XA:
XA=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot1 + b\cdot(-2) & a\cdot1 + b\cdot1 \\[4pt] c\cdot1 + d\cdot(-2) & c\cdot1 + d\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-2b & a+b \\[4pt] c-2d & c+d \end{pmatrix}.]

Passo 4

Impor AX=XA fazendo igualdade termo a termo. Igualando as entradas correspondentes das duas matrizes:
  • Entrada (1,1): a + c = a - 2b. Simplifica para
c = -2b.
  • Entrada (1,2): b + d = a + b. Simplifica para
d = a.
  • Entrada (2,1): -2a + c = c - 2d. Substituindo d=a nesta equação dá -2a + c = c - 2a, que é identidade (não dá nova informação).
  • Entrada (2,2): -2b + d = c + d. Substituindo c=-2b torna-se -2b + d = -2b + d, também identidade.
Portanto as equações independentes são apenas c=-2b e d=a.

Passo 5

Escrever a família solução usando os parâmetros a e b livres:
X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] -2b & a\end{pmatrix}, \qquad a,b\in\mathbb{R}.
Isto é uma família de duas dimensões (dois graus de liberdade).]

Passo 6

Dar uma forma alternativa e interpretar: observe que
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] -2b & a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -2 & 0\end{pmatrix}.
Note também que
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -2 & 0\end{pmatrix}.
Assim, escrevendo I para a matriz identidade, temos que qualquer solução pode ser escrita como combinação linear de I e A. Mais explicitamente, tomando parâmetros \alpha,\beta\in\mathbb{R}, qualquer matriz que comuta com A pode ser escrita como
X=\alpha I + \beta A.
(Para ver a correspondência com a,b basta escolher \beta=b e \alpha=a-b.)]

Passo 7

Breve comentário didático (como usar isso numa prova): o método direto é definir a matriz desconhecida com quatro entradas e impor AX=XA, obtendo um sistema linear para as entradas — isto resolve a maior parte dos exercícios elementares. Se quiser uma justificativa teórica: como A tem polinômio mínimo de grau 2 (os autovalores são complexos conjugados), o conjunto das matrizes reais que comutam com A tem dimensão 2 e é precisamente o espaço de polinômios em A de grau <2, isto é, combinações lineares de I e A. Mas para a prova basta fazer o cálculo direto como fizemos.

Resposta

\displaystyle X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] -2b & a\end{pmatrix},\quad a,b\in\mathbb{R}.
\displaystyle]

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