Em um processo de destilação com quatro componentes, a conservação de massa resulta no sistema abaixo, onde ( x, y, z e w ) representam fluxos de cada componente em kg/h:
  • x+y+z+w=1000 (Fluxo total)
  • 0,5 x+0,2 y+0,1 z=200 (Componente A)
  • 0,1 x+0,6 y+0,3 w=300 (Componente B)
  • 0,2 z+0,7 w=150 (Componente C)
Monte a matriz de coeficientes e utilize o método de Eliminação de Gauss para determinar e a solução do sistema com 2 casas decimais usando arredondamento.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações com quatro incógnitas (os fluxos em kg/h) e pede que se monte a matriz de coeficientes e se resolva o sistema pelo método de Eliminação de Gauss, apresentando a solução com duas casas decimais (arredondamento). As incógnitas são:
\;x,\;y,\;z,\;w\; (fluxos em kg/h).
As equações fornecidas são:
\begin{cases} x+y+z+w=1000,\\[4pt] 0,5x+0,2y+0,1z+0w=200,\\[4pt] 0,1x+0,6y+0z+0,3w=300,\\[4pt] 0x+0y+0,2z+0,7w=150. \end{cases}
O que se pede explicitamente:
  • Montar a matriz de coeficientes (e vetor termo independente).
  • Resolver o sistema por Eliminação de Gauss (passo a passo).
  • Dar a solução final com duas casas decimais, usando arredondamento.]

Passo 2

Montagem da matriz de coeficientes e do termo independente (matriz aumentada). Vou escrever em forma aumentada [A\mid b].
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1000\\[4pt] 0,5 & 0,2 & 0,1 & 0 & 200\\[4pt] 0,1 & 0,6 & 0 & 0,3 & 300\\[4pt] 0 & 0 & 0,2 & 0,7 & 150 \end{array}\right]
Esta é a matriz que vamos manipular com operações elementares de linha. Lembrete prático sobre operações elementares permitidas (essas são as ferramentas da Eliminação de Gauss):
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um número não nulo;
  • somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
O objetivo é transformar a matriz aumentada em forma triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal), então fazer substituição regressiva para obter as incógnitas.]

Passo 3

Primeiro passo de eliminação: zerar as entradas abaixo de a_{11} (coluna 1). Use R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1 com m_{21}=0,5,\; m_{31}=0,1,\; m_{41}=0.
Escrevo as linhas iniciais como frações para evitar aproximações cedo:
R_1=[1,\;1,\;1,\;1\mid1000], \quad R_2=[\tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{5},\;\tfrac{1}{10},\;0\mid200],
R_3=[\tfrac{1}{10},\;\tfrac{3}{5},\;0,\;\tfrac{3}{10}\mid300], \quad R_4=[0,\;0,\;\tfrac{1}{5},\;\tfrac{7}{10}\mid150].
Aplicando:
  • R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{2}R_1: R_2=[0,\;-\tfrac{3}{10},\;-\tfrac{2}{5},\;-\tfrac{1}{2}\mid -300].
  • R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{10}R_1: R_3=[0,\;\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{10},\;\tfrac{1}{5}\mid200].
  • R_4 já tem zero na coluna 1, permanece igual.
A matriz aumentada vira:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1000\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{10} & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{2} & -300\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{5} & 200\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{5} & \tfrac{7}{10} & 150 \end{array}\right]]

Passo 4

Escolha do pivô para a segunda coluna: entre -\tfrac{3}{10} (linha 2) e \tfrac{1}{2} (linha 3) escolho \tfrac{1}{2} (linha 3) por ser numericamente maior em módulo — isso melhora estabilidade. Faço a troca R_2 \leftrightarrow R_3.
Após a troca:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1000\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{5} & 200\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{10} & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{2} & -300\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{5} & \tfrac{7}{10} & 150 \end{array}\right]
Agora zeramos as entradas abaixo do pivô \tfrac{1}{2} na coluna 2:
  • Para R_1: multiplicador m_{12}=\dfrac{1}{\tfrac{1}{2}}=2. Faço R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
  • Para R_3: multiplicador m_{32}=\dfrac{-\tfrac{3}{10}}{\tfrac{1}{2}}=-\tfrac{3}{5}. Faço R_3 \leftarrow R_3 - (-\tfrac{3}{5})R_2 = R_3 + \tfrac{3}{5}R_2.
Calculemos exatamente:
  • R_1 - 2R_2 = [1,\,0,\,\tfrac{6}{5},\,\tfrac{3}{5}\mid600].
  • R_3 + \tfrac{3}{5}R_2 = [0,\,0,\,-\tfrac{23}{50},\,-\tfrac{19}{50}\mid -180].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & \tfrac{6}{5} & \tfrac{3}{5} & 600\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{5} & 200\\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac{23}{50} & -\tfrac{19}{50} & -180\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{5} & \tfrac{7}{10} & 150 \end{array}\right]]

Passo 5

Próximo pivô: coluna 3, linha 3 tem a_{33}=-\tfrac{23}{50}. Vamos usar essa linha como pivô e zerar as entradas na coluna 3 acima e abaixo (linhas 1 e 4).
Multiplicadores:
  • Para R_1: m_{13}=\dfrac{\tfrac{6}{5}}{-\tfrac{23}{50}}=\dfrac{6/5}{-23/50}=-\dfrac{60}{23}. A operação é R_1 \leftarrow R_1 - m_{13}R_3, que equivale a R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{60}{23}R_3.
  • Para R_4: m_{43}=\dfrac{\tfrac{1}{5}}{-\tfrac{23}{50}}=\dfrac{1/5}{-23/50}=-\dfrac{10}{23}. Então R_4 \leftarrow R_4 - m_{43}R_3 = R_4 + \tfrac{10}{23}R_3.
Efetuando cálculos exatos (para manter precisão):
  • Atualizando R_1: R_1 = [1,\,0,\,0,\;-\tfrac{9}{23}\mid \tfrac{3000}{23}].Observação: \tfrac{3}{5}+\tfrac{60}{23}\cdot\left(-\tfrac{19}{50}\right)= -\tfrac{9}{23} e 600+\tfrac{60}{23}\cdot(-180)=\tfrac{3000}{23}.
  • Atualizando R_4: R_4 = [0,\,0,\,0,\;\tfrac{123}{230}\mid \tfrac{1650}{23}].Observação: a operação cancela a coluna 3 e produz essas frações exatas.
Agora a matriz está em forma triangular superior:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{9}{23} & \tfrac{3000}{23}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{5} & 200\\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac{23}{50} & -\tfrac{19}{50} & -180\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{123}{230} & \tfrac{1650}{23} \end{array}\right]]

Passo 6

Agora procedemos com a substituição regressiva (back-substitution). Primeiro obtemos w da última equação (linha 4):
A equação de R_4 é
\tfrac{123}{230}\,w=\tfrac{1650}{23}.
Multiplicando ambos os lados por \tfrac{230}{123} obtemos
w=\frac{\tfrac{1650}{23}\cdot\tfrac{230}{123}}{1}.
Simplificando: note que \tfrac{230}{23}=10, então
w=\frac{1650\cdot10}{123}=\frac{16500}{123}.
Simplificando por 3: 16500/123 = 5500/41. Em decimal exato:
w=\frac{5500}{41}\approx 134,1463414634\ldots
Arredondando no final, guardamos o valor exato em fração e a aproximação.

Passo 7

Agora usamos a equação da linha 3 para obter z. Linha 3:
-\tfrac{23}{50}\,z-\tfrac{19}{50}\,w=-180.
Isolando z:
-\tfrac{23}{50}z=-180+\tfrac{19}{50}w \quad\Rightarrow\quad z=\frac{180-\tfrac{19}{50}w}{\tfrac{23}{50}}.
Multiplicando numerador e denominador por 50:
z=\frac{9000-19w}{23}.
Substituindo w=\dfrac{5500}{41}:
z=\frac{9000-19\cdot\dfrac{5500}{41}}{23} =\frac{9000\cdot41-19\cdot5500}{23\cdot41} =\frac{11500}{41}.
Em decimal:
z=\frac{11500}{41}\approx280,4878048780\ldots

Passo 8

Agora usamos a linha 1 (já simples) para achar x. Linha 1:
x-\tfrac{9}{23}w=\tfrac{3000}{23}.
Então
x=\tfrac{3000}{23}+\tfrac{9}{23}w=\frac{3000+9w}{23}.
Substituindo w=\dfrac{5500}{41}:
x=\frac{3000+9\cdot\dfrac{5500}{41}}{23} =\frac{3000\cdot41+9\cdot5500}{23\cdot41} =\frac{7500}{41}.
Em decimal:
x=\frac{7500}{41}\approx182,9268292683\ldots

Passo 9

Finalmente, obtemos y usando a linha 2 (a equação com coeficiente \tfrac{1}{2} em y):
Linha 2:
\tfrac{1}{2}y-\tfrac{1}{10}z+\tfrac{1}{5}w=200.
Isolando y:
\tfrac{1}{2}y=200+\tfrac{1}{10}z-\tfrac{1}{5}w \quad\Rightarrow\quad y=400+\tfrac{1}{5}z-\tfrac{2}{5}w.
Substituindo z=\dfrac{11500}{41} e w=\dfrac{5500}{41}:
y=400+\frac{11500}{205}-\frac{11000}{205} =400+\frac{100}{41} =\frac{16500}{41}.
Em decimal:
y=\frac{16500}{41}\approx402,4390243902\ldots

Passo 10

Resumo dos resultados exatos (fácil verificação: a soma dá 1000):
x=\frac{7500}{41},\quad y=\frac{16500}{41},\quad z=\frac{11500}{41},\quad w=\frac{5500}{41}.
Em decimais aproximados (a serem arredondados a duas casas, próximo passo):
x\approx182,9268292683,\quad y\approx402,4390243902,\quad z\approx280,4878048780,\quad w\approx134,1463414634.

Resposta

x = 182,93
y = 402,44
z = 280,49
w = 134,15

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