Em um processo de destilação com quatro componentes, a conservação de massa resulta no sistema abaixo, onde ( x, y, z e w ) representam fluxos de cada componente em kg/h:
x+y+z+w=1000 (Fluxo total)
0,5 x+0,2 y+0,1 z=200 (Componente A)
0,1 x+0,6 y+0,3 w=300 (Componente B)
0,2 z+0,7 w=150 (Componente C)
Monte a matriz de coeficientes e utilize o método de Eliminação de Gauss para determinar e a solução do sistema com 2 casas decimais usando arredondamento.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de quatro equações com quatro incógnitas (os fluxos em kg/h) e pede que se monte a matriz de coeficientes e se resolva o sistema pelo método de Eliminação de Gauss, apresentando a solução com duas casas decimais (arredondamento). As incógnitas são: \;x,\;y,\;z,\;w\; (fluxos em kg/h).
Esta é a matriz que vamos manipular com operações elementares de linha. Lembrete prático sobre operações elementares permitidas (essas são as ferramentas da Eliminação de Gauss):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um número não nulo;
somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
O objetivo é transformar a matriz aumentada em forma triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal), então fazer substituição regressiva para obter as incógnitas.]
Passo 3
Primeiro passo de eliminação: zerar as entradas abaixo de a_{11} (coluna 1). Use R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1 com m_{21}=0,5,\; m_{31}=0,1,\; m_{41}=0.
Escrevo as linhas iniciais como frações para evitar aproximações cedo:
Escolha do pivô para a segunda coluna: entre -\tfrac{3}{10} (linha 2) e \tfrac{1}{2} (linha 3) escolho \tfrac{1}{2} (linha 3) por ser numericamente maior em módulo — isso melhora estabilidade. Faço a troca R_2 \leftrightarrow R_3.
Próximo pivô: coluna 3, linha 3 tem a_{33}=-\tfrac{23}{50}. Vamos usar essa linha como pivô e zerar as entradas na coluna 3 acima e abaixo (linhas 1 e 4).
Multiplicadores:
Para R_1: m_{13}=\dfrac{\tfrac{6}{5}}{-\tfrac{23}{50}}=\dfrac{6/5}{-23/50}=-\dfrac{60}{23}. A operação é R_1 \leftarrow R_1 - m_{13}R_3, que equivale a R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{60}{23}R_3.
Para R_4: m_{43}=\dfrac{\tfrac{1}{5}}{-\tfrac{23}{50}}=\dfrac{1/5}{-23/50}=-\dfrac{10}{23}. Então R_4 \leftarrow R_4 - m_{43}R_3 = R_4 + \tfrac{10}{23}R_3.
Efetuando cálculos exatos (para manter precisão):
Atualizando R_1:R_1 = [1,\,0,\,0,\;-\tfrac{9}{23}\mid \tfrac{3000}{23}].Observação: \tfrac{3}{5}+\tfrac{60}{23}\cdot\left(-\tfrac{19}{50}\right)= -\tfrac{9}{23} e 600+\tfrac{60}{23}\cdot(-180)=\tfrac{3000}{23}.
Atualizando R_4:R_4 = [0,\,0,\,0,\;\tfrac{123}{230}\mid \tfrac{1650}{23}].Observação: a operação cancela a coluna 3 e produz essas frações exatas.