O fluxo de veículos em quatro cruzamentos interconectados durante o horário de pico gerou o seguinte modelo linear \left\{\begin{array}{c}x_{1}-x_{2}=50 \\\ x_{2}+x_{3}-x_{4}=120 \\\ x_{1}+x_{3}=200 \\\\ 2 x_{2}-x_{4}=30\end{array}\right.
Represente o sistema na forma A X=B e utilize o método da matriz inversa para determinar os fluxos x_{n}.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{rcl} x_{1}-x_{2} &=& 50,\\[4pt] x_{2}+x_{3}-x_{4} &=& 120,\\[4pt] x_{1}+x_{3} &=& 200,\\[4pt] 2x_{2}-x_{4} &=& 30. \end{array}\right.
O que é pedido:
  • Representar o sistema na forma A X = B.
  • Usar o método da matriz inversa para encontrar os fluxos x_{n} (ou seja, determinar x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).
Informações que temos (as equações são os dados do problema), e vamos tomar a ordem dos incógnitos como
X=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}.]

Passo 2

Reescrevendo o sistema na forma matricial A X = B: basta extrair os coeficientes de cada variável em cada equação e montar A e B.
A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad X=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}50\\[4pt]120\\[4pt]200\\[4pt]30\end{pmatrix}.
Explicando por palavras (rápido e prático): a primeira linha de A vem da equação x_{1}-x_{2}=50 que tem coeficientes (1,-1,0,0), e assim por diante.]

Passo 3

Ideia do método da matriz inversa (curtinha e clara):
  • Se a matriz A for invertível, então a solução é
X = A^{-1} B.
  • Para obter A^{-1} vamos usar eliminação de Gauss-Jordan: montar a matriz aumentada [A\\ |\\ I] e transformar A na identidade através de operações elementares de linha; as mesmas operações aplicadas a I resultam em A^{-1}.
Vamos começar montando a matriz aumentada inicial.

Passo 4

Matriz aumentada inicial [A\mid I]:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
Vou aplicar operações de linha que são permitidas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter [I\mid A^{-1}]. Explico cada operação e por que faço.
Operação 1: zerar o 1 na terceira linha usando a primeira:
R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Resultado:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)]

Passo 5

Usando a segunda linha como pivô na coluna 2 (ela já tem 1 naquele lugar), zero nas outras linhas da coluna 2:
  • R_1 \leftarrow R_1 + R_2 (para eliminar o -1 em R_1),
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2,
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2.
Aplicando essas operações obtemos:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right)
Comentário: agora a coluna 2 está no formato desejado (tem 1 em R_2 e zeros nos outros lugares).]

Passo 6

Queremos pivô na coluna 3. Observando as linhas, R_4 tem -2 em coluna 3; trocamos R_3 \leftrightarrow R_4 para trazer esse pivô para a linha 3:
R_3 \leftrightarrow R_4.
Resultado:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & -2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right)
Agora normalizamos a linha 3 dividindo por -2 para obter pivô 1:
R_3 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_3.
Resultado:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right)]

Passo 7

Eliminar os demais elementos não nulos na coluna 3 (usar R_3 para zerar col3 em R_1 e R_2):
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_3,
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Aplicando:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} & 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right)
Agora as três primeiras colunas estão com os pivôs corretos (1 na diagonal e zeros nas suas colunas, exceto a coluna 4 que ainda precisa ser tratada).]

Passo 8

Por fim, usar R_4 (que já tem 1 em coluna 4) para zerar a coluna 4 nas linhas R_1,R_2,R_3. Como R_1,R_2,R_3 têm cada uma -\tfrac{1}{2} na coluna 4, fazemos:
  • R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{1}{2}R_4,
  • R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_4,
  • R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{1}{2}R_4.
Aplicando essas somas obtemos a forma reduzida:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right)
À esquerda agora está a matriz identidade I, e à direita temos A^{-1}.]

Passo 9

Portanto a matriz inversa é
A^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] -1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Breve verificação mental rápida: A é quadrada e as operações chegaram a I à esquerda, então A^{-1} está correta; a checagem final será pela solução.]

Passo 10

Agora calculamos X=A^{-1}B. Fazendo o produto linha a linha (cada componente é produto escalar da linha de A^{-1} com B):
\begin{aligned} x_{1} &= \tfrac{1}{2}\cdot 50 + \big(-\tfrac{1}{2}\big)\cdot 120 + \tfrac{1}{2}\cdot 200 + \tfrac{1}{2}\cdot 30 = 25 - 60 + 100 + 15 = 80,\\[6pt] x_{2} &= \big(-\tfrac{1}{2}\big)\cdot 50 + \big(-\tfrac{1}{2}\big)\cdot 120 + \tfrac{1}{2}\cdot 200 + \tfrac{1}{2}\cdot 30 = -25 - 60 + 100 + 15 = 30,\\[6pt] x_{3} &= \big(-\tfrac{1}{2}\big)\cdot 50 + \tfrac{1}{2}\cdot 120 + \tfrac{1}{2}\cdot 200 + \big(-\tfrac{1}{2}\big)\cdot 30 = -25 + 60 + 100 - 15 = 120,\\[6pt] x_{4} &= -1\cdot 50 + (-1)\cdot 120 + 1\cdot 200 + 0\cdot 30 = -50 - 120 + 200 = 30. \end{aligned}
Logo obtivemos os fluxos numéricos das quatro variáveis.]

Resposta

x_{1}=80
x_{2}=30
x_{3}=120
x_{4}=30

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