O fluxo de veículos em quatro cruzamentos interconectados durante o horário de pico gerou o seguinte modelo linear \left\{\begin{array}{c}x_{1}-x_{2}=50 \\\ x_{2}+x_{3}-x_{4}=120 \\\ x_{1}+x_{3}=200 \\\\ 2 x_{2}-x_{4}=30\end{array}\right.
Represente o sistema na forma A X=B e utilize o método da matriz inversa para determinar os fluxos x_{n}.
Explicando por palavras (rápido e prático): a primeira linha de A vem da equação x_{1}-x_{2}=50 que tem coeficientes (1,-1,0,0), e assim por diante.]
Passo 3
Ideia do método da matriz inversa (curtinha e clara):
Se a matriz A for invertível, então a solução é
X = A^{-1} B.
Para obter A^{-1} vamos usar eliminação de Gauss-Jordan: montar a matriz aumentada [A\\ |\\ I] e transformar A na identidade através de operações elementares de linha; as mesmas operações aplicadas a I resultam em A^{-1}.
Vamos começar montando a matriz aumentada inicial.
Vou aplicar operações de linha que são permitidas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter [I\mid A^{-1}]. Explico cada operação e por que faço.
Operação 1: zerar o 1 na terceira linha usando a primeira:
Agora as três primeiras colunas estão com os pivôs corretos (1 na diagonal e zeros nas suas colunas, exceto a coluna 4 que ainda precisa ser tratada).]
Passo 8
Por fim, usar R_4 (que já tem 1 em coluna 4) para zerar a coluna 4 nas linhas R_1,R_2,R_3. Como R_1,R_2,R_3 têm cada uma -\tfrac{1}{2} na coluna 4, fazemos: