Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
f(x, y)=x^3+y^3-3 x y;

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=x^3+y^3-3xy
e pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela. Vamos usar cálculo de pontos críticos (gradiente nulo) e o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=3x^2-3y, partial fpartial y=3y^2-3x

Passo 3

Para achar os pontos críticos igualamos
3x^2-3y=0, 3y^2-3x=0
que simplificam para
y=x^2, x=y^2
Substituindo y=x^2 em x=y^2 x=(x^2)^2=x^4, ou seja
x^4-x=0Longrightarrow x(x^3-1)=0
logo x=0 ou x=1. Isso gera os pontos críticos
(0,0) e (1,1)

Passo 4

Formamos a matriz Hessiana e seu determinante:
H(x,y)= fxx&fxy fxy&fyy = 6x & -3 -3 & 6y , D(x,y)=det H(x,y)=36 cdot x cdot y - 9

Passo 5

Avaliamos D e fxx em cada ponto:
Em (0,0) temos
D(0,0)=36cdot0cdot0-9=-9<0,
portanto ponto de sela.
Em (1,1) temos
D(1,1)=36cdot1cdot1-9=27>0 e fxx(1,1)=6>0,
logo mínimo local. Não há ponto com D>0 e fxx<0, então não ocorre máximo local.

Resposta

Ponto de sela em (0,0).
Mínimo local em (1,1) com valor f(1,1)=-1.
Não há máximos locais.

Exercícios relacionados