Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções: ;
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
e pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela. Vamos usar cálculo de pontos críticos (gradiente nulo) e o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Passo 3
Para achar os pontos críticos igualamos
que simplificam para
Substituindo em dá , ou seja
logo ou . Isso gera os pontos críticos
Passo 4
Formamos a matriz Hessiana e seu determinante:
Passo 5
Avaliamos D e fxx em cada ponto:
Em (0,0) temos
D(0,0)=36cdot0cdot0-9=-9<0,
portanto ponto de sela.
Em (1,1) temos
D(1,1)=36cdot1cdot1-9=27>0 e fxx(1,1)=6>0,
logo mínimo local. Não há ponto com D>0 e fxx<0, então não ocorre máximo local.
Resposta
Ponto de sela em (0,0).
Mínimo local em (1,1) com valor f(1,1)=-1.
Não há máximos locais.