Determine o rotacional (
) e o divergente (
) do campo vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o rotacional (
) e o divergente (
) do campo vetorial dado por:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de rotacional e divergente, que envolvem derivadas parciais das componentes vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional (
). O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar
,
e
a partir do nosso
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional:
- Para a componente
:
Então,
- Para a componente
:
Então,
- Para a componente
:
Então,
Passo 4
Agora, juntando todas as componentes, temos o rotacional:
Passo 5
Vamos agora calcular o divergente (
). O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Usando nossos
,
e
:
Passo 6
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora, somando todas as derivadas parciais:
Resposta
O rotacional de
é
e o divergente de
é