Determine o rotacional ( rot F) e o divergente ( div F) do campo vetorial.
F(x, y, z)=2 xy i+3 yz j+4 zx k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o rotacional ( rot F) e o divergente ( div F) do campo vetorial dado por:
F(x, y, z) = 2xy , i + 3yz , j + 4zx , k
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de rotacional e divergente, que envolvem derivadas parciais das componentes vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional ( rot F). O rotacional de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dado por:
rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Vamos identificar P, Q e R a partir do nosso F:
P = 2xy, Q = 3yz, R = 4zx

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo do rotacional:
  1. Para a componente i:
partial Rpartial y = partialpartial y ( 4zx ) = 0 (porque $z$ e $x$ são constantes em relação a $y$) ãçã
partial Qpartial z = partialpartial z ( 3yz ) = -3yz^2
Então,
partial Rpartial y - partial Qpartial z = 0 - ( -3yz^2 ) = 3yz^2
  1. Para a componente j:
partial Ppartial z = partialpartial z ( 2xy ) = 0 (porque $x$ e $y$ são constantes em relação a $z$) ãçã
partial Rpartial x = partialpartial x ( 4zx ) = -4zx^2
Então,
partial Ppartial z - partial Rpartial x = 0 - ( -4zx^2 ) = 4zx^2
  1. Para a componente k:
partial Qpartial x = partialpartial x ( 3yz ) = 0 (porque $y$ e $z$ são constantes em relação a $x$) ãçã
partial Ppartial y = partialpartial y ( 2xy ) = -2xy^2
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - ( -2xy^2 ) = 2xy^2

Passo 4

Agora, juntando todas as componentes, temos o rotacional:
rot F = 3yz^2 , i + 4zx^2 , j + 2xy^2 , k

Passo 5

Vamos agora calcular o divergente ( div F). O divergente de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dado por:
div F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Usando nossos P, Q e R:
P = 2xy, Q = 3yz, R = 4zx

Passo 6

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Para partial Ppartial x:
partialpartial x ( 2xy ) = 2y (derivada de $2x$ em relação a $x$ é $2$) çãé
  1. Para partial Qpartial y:
partialpartial y ( 3yz ) = 3z (derivada de $3y$ em relação a $y$ é $3$) çãé
  1. Para partial Rpartial z:
partialpartial z ( 4zx ) = 4x (derivada de $4z$ em relação a $z$ é $4$) çãé

Passo 7

Agora, somando todas as derivadas parciais:
div F = 2y + 3z + 4x

Resposta

O rotacional de F é
rot F = 3yz^2 , i + 4zx^2 , j + 2xy^2 , k
e o divergente de F é
div F = 2y + 3z + 4x

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