Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
f(x, y)=x^4+y^4-x^2-2 x y-y^2;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^4+y^4-x^2-2xy-y^2
e pede os extremos locais (máximos e mínimos) e pontos de sela. Para isso, vamos usar o seguinte roteiro:
1. Calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y e resolver o sistema nabla f=0 para achar os pontos críticos.
2. Montar a matriz Hessiana de f e usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico. Se o teste for inconclusivo, faremos uma análise de termo dominante.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais:
O sistema
Dividindo por . Substituindo na segunda e fatorando, chegamos a
Isso gera exatamente os pontos críticos

Passo 3

A matriz Hessiana de f é
H(x,y)= fxx & fxy[6pt] fyx & fyy = 12x^2-2 & -2[4pt] -2 & 12y^2-2
Para classificar um ponto (x0,y0), calculamos
D = det H(x0,y0) e fxx(x0,y0) ]

Passo 4

Vamos avaliar em cada ponto crítico:
1. Em (1,1):
fxx=12cdot1^2-2=10, fyy=10, fxy=-2, D=10cdot10-(-2)^2=100-4=96>0
Como D>0 e fxx>0, (1,1) é mínimo local.
O valor ali é
f(1,1)=1+1-1-2-1=-2
2. Em (-1,-1): por simetria fxx=10, fyy=10, fxy=-2 e D=96>0, logo é outro mínimo local.
f(-1,-1)=(-1)^4+(-1)^4-(-1)^2-2(-1)(-1)-(-1)^2=-2
3. Em (0,0):
fxx=-2, fyy=-2, fxy=-2, D=(-2)(-2)-(-2)^2=4-4=0,
o que torna o teste inconclusivo.
Porém, aproximando f por termos de ordem 2 em volta de (0,0),
f(x,y)approx -x^2-2xy-y^2 = -(x+y)^2,
vemos que em direções x+yneq0 o sinal varia (positiva em y=-x, negativa em y=x), caracterizando ponto de sela.

Resposta

Mínimos locais em (1,1) e (-1,-1) (valor f=-2).
Ponto de sela em (0,0).
Não há máximos locais.

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