Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
;
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede os extremos locais (máximos e mínimos) e pontos de sela. Para isso, vamos usar o seguinte roteiro:
. Calcular as derivadas parciais
e
e resolver o sistema
para achar os pontos críticos.
. Montar a matriz Hessiana de
e usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico. Se o teste for inconclusivo, faremos uma análise de termo dominante.
Passo 2
Calculando as derivadas parciais:
O sistema
Dividindo por . Substituindo na segunda e fatorando, chegamos a
Isso gera exatamente os pontos críticos
Passo 3
A matriz Hessiana de
é
Para classificar um ponto
, calculamos
Passo 4
Vamos avaliar em cada ponto crítico:
Como
e
,
é mínimo local.
O valor ali é
O valor ali é
o que torna o teste inconclusivo.
Porém, aproximando por termos de ordem
em volta de
,
Porém, aproximando
vemos que em direções
o sinal varia (positiva em
, negativa em
), caracterizando ponto de sela.
Resposta
Mínimos locais em
e
(valor
).
Ponto de sela em .
Não há máximos locais.
Ponto de sela em
Não há máximos locais.