Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
O conteúdo é cálculo de extremos em funções de duas variáveis. Para resolver vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos e depois classificar esses pontos por análise do sinal da derivada segunda (ou argumento radial, já que
depende só de
).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais. Seja
.
Em
:
Analogamente em
:
Passo 3
Para pontos críticos resolvemos
Como
, as equações reduzem-se a
As soluções são:
.
e
, i.e.\
.
.
, i.e.\
ou seja
.
Passo 4
Classificação de
:
Defina . Note que para
,
e
. Logo
é menor que os valores de
em qualquer ponto suficientemente próximo, o que faz de
um mínimo local.
Defina
Passo 5
Classificação dos pontos com
:
Observe que
Observe que
que é positivo em
e negativo em
. Logo
é ponto de máximo de
. Como
, todos os pontos satisfazendo
são máximos locais de
. Não surgem outros pontos críticos, portanto não há pontos de sela.
Resposta
O único mínimo local é em
.
Os máximos locais ocorrem em todos os pontos da circunferência
Os máximos locais ocorrem em todos os pontos da circunferência
Não há pontos de sela.