Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
f(x, y)=(x^2+y^2) e^-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
f(x,y) = l(x^2+y^2r),e^-x^2-y^2
O conteúdo é cálculo de extremos em funções de duas variáveis. Para resolver vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos e depois classificar esses pontos por análise do sinal da derivada segunda (ou argumento radial, já que f depende só de r^2=x^2+y^2).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais. Seja r^2=x^2+y^2.
f(x,y) = r^2e^-r^2
Em x:
fx = partialpartial xl(r^2e^-r^2r) = 2x,e^-r^2 + r^2l(-2x,e^-r^2r) = 2x,e^-r^2l(1 - r^2r)
Analogamente em y:
fy = 2y,e^-r^2l(1 - r^2r)

Passo 3

Para pontos críticos resolvemos
fx=0, fy=0
Como e^-r^2neq0, as equações reduzem-se a
2x,(1-r^2)=0, 2y,(1-r^2)=0
As soluções são:
1. x=0 e y=0, i.e.\ r=0.
2. 1 - r^2=0, i.e.\ r^2=1 ou seja x^2+y^2=1.

Passo 4

Classificação de (0,0):
Defina g(r)=r^2e^-r^2. Note que para 0<rll1, g(r)>0 e g(0)=0. Logo f(0,0)=0 é menor que os valores de f em qualquer ponto suficientemente próximo, o que faz de (0,0) um mínimo local.

Passo 5

Classificação dos pontos com r^2=1:
Observe que
g'(r)=2r,e^-r^2l(1-r^2r),
que é positivo em 0<r<1 e negativo em r>1. Logo r=1 é ponto de máximo de g. Como f(x,y)=g(raizx^2+y^2), todos os pontos satisfazendo x^2+y^2=1 são máximos locais de f. Não surgem outros pontos críticos, portanto não há pontos de sela.

Resposta

O único mínimo local é em (0,0).
Os máximos locais ocorrem em todos os pontos da circunferência
x^2+y^2=1
Não há pontos de sela.

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