Encontre os máximos e mínimos absolutos das seguintes funções, nos intervalos dados:
f(x)=6-5 x-x^{2} em [-1,2]

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de uma função polinomial no intervalo fechado [-1,2]. O conteúdo envolvido é o Teorema de Weierstrass para funções contínuas em intervalo fechado, que garante que os máximos e mínimos absolutos ocorrem nos pontos críticos (onde f'(x)=0) ou nas extremidades do intervalo. Vamos calcular f'(x), encontrar pontos críticos em [-1,2] e avaliar f nos candidatos.

Passo 2

Calculamos a derivada de
f(x)=6 - 5x - x^2
pela regra do polinômio:
f'(x) = \frac{d}{dx}(6) - \frac{d}{dx}(5x) - \frac{d}{dx}(x^2) = 0 - 5 - 2x = -5 - 2x.
Resolvendo f'(x)=0 obtemos
-5 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{5}{2} = -2{,}5.
Como -2{,}5\notin[-1,2], não há pontos críticos internos ao intervalo.

Passo 3

Como não há pontos críticos em [-1,2], os extremos absolutos podem ocorrer apenas nas extremidades. Avaliamos:
f(-1) = 6 - 5(-1) - (-1)^2 = 6 + 5 - 1 = 10,
f(2) = 6 - 5\cdot 2 - 2^2 = 6 - 10 - 4 = -8.

Passo 4

Comparando os valores obtidos:
f(-1)=10,\quad f(2)=-8.
O maior valor é 10 em x=-1 e o menor valor é -8 em x=2.

Resposta

O máximo absoluto é f(-1)=10 e o mínimo absoluto é f(2)=-8.

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