Encontre os máximos e mínimos absolutos das seguintes funções, nos intervalos dados:
f(x)=6+5 x+x^{2} em [-1,2]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos absolutos da função
f(x)=6+5x+x^{2}
no intervalo fechado [-1,2].
Esse é um problema de extremos absolutos em intervalo fechado: vamos calcular a derivada para achar possíveis pontos críticos no interior de [-1,2] e depois avaliar a função nos pontos críticos (se houver) e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=2x+5.
Para encontrar pontos críticos, resolvemos
2x+5=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac{5}{2}=-2,5.
Como -2,5 não pertence ao intervalo [-1,2], não há pontos críticos no interior.

Passo 3

Sem pontos críticos em [-1,2], os candidatos a extremos são apenas as bordas x=-1 e x=2. Avaliamos:
f(-1)=(-1)^{2}+5(-1)+6=1-5+6=2,
f(2)=2^{2}+5\cdot2+6=4+10+6=20.

Passo 4

Comparando os valores obtidos, o menor valor é 2 em x=-1 e o maior é 20 em x=2. Portanto:
  • mínimo absoluto em x=-1 com valor 2;
  • máximo absoluto em x=2 com valor 20.

Resposta

O mínimo absoluto é f(-1)=2.
O máximo absoluto é f(2)=20.

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