Encontre os máximos e mínimos absolutos das seguintes funções, nos intervalos dados:
f(x)=x e^{x} em [-2,0]

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de f(x)=x e^{x} no intervalo fechado [-2,0]. Como f é contínua em um intervalo compacto, basta achar os pontos críticos onde f'(x)=0 e avaliar f nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calculemos a derivada de f. Para f(x)=x e^{x} vale a regra do produto, obtendo
f'(x)=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).
Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0, ou seja,
e^{x}(1+x)=0\quad\Longrightarrow\quad 1+x=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1.
Como -1\in[-2,0], esse é o único ponto crítico no intervalo.

Passo 3

Agora avaliamos f nos pontos x=-2, x=-1 e x=0:
f(-2)=-2e^{-2}=-\frac{2}{e^{2}}\approx -0,2707,
f(-1)=-1e^{-1}=-\frac{1}{e}\approx -0,3679,
f(0)=0\cdot e^{0}=0.

Passo 4

Comparando os valores:
-\tfrac{1}{e}\approx -0,3679 < -\tfrac{2}{e^{2}}\approx -0,2707 < 0,
vemos que o menor valor é -\tfrac{1}{e} em x=-1 e o maior é 0 em x=0.

Resposta

O mínimo absoluto ocorre em x=-1 com f(-1)=-\tfrac{1}{e}.
O máximo absoluto ocorre em x=0 com f(0)=0.

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