Encontre a média da energia lang<= Erang<= para uma distribuição de Boltzmann P(E)= 1kB T e^-EkB T nas condições. (a) energia contínua e (b) energia discreta da forma De n h v com n indo de 0 a infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a média da energia lang<= E rang<= usando a distribuição de Boltzmann, que é P(E) = 1kB T e^-EkB T. Vamos precisar entender conceitos de estatística térmica, especificamente como calcular médias usando distribuições de probabilidade. Vamos dividir a resolução em duas partes: (a) quando a energia é contínua e (b) quando a energia é discreta, assumindo que De com n de 0 a infinito.

Passo 2

Parte (a) – Energia Contínua

Primeiro, vamos lidar com a energia contínua. A média da energia lang<= E rang<= é calculada integrando a energia multiplicada pela distribuição de probabilidade sobre todas as energias possíveis. Ou seja,
lang<= E rang<= = integral0^infty E cdot P(E) , dE
Substituindo P(E) na integral, temos:
lang<= E rang<= = integral0^infty E cdot 1kB T e^-EkB T , dE

Passo 3

Para resolver essa integral, reconhecemos que ela representa a média de uma distribuição exponencial. Sabemos que para uma distribuição exponencial da forma P(E) = 1lambda e^-Elambda, a média é lambda. No nosso caso, lambda = kB T. Portanto,
lang<= E rang<= = kB T

Passo 4

Parte (b) – Energia Discreta

Agora, vamos considerar a energia discreta, onde De com n indo de 0 a infinito. Aqui, a média da energia é calculada como uma soma sobre todos os estados possíveis:
lang<= E rang<= = sumn=0^infty En cdot P(En)
Sabendo que En = n h v e substituindo na soma, temos:
lang<= E rang<= = sumn=0^infty n h v cdot 1kB T e^-n h vkB T

Passo 5

Para resolver essa soma infinita, reconhecemos que ela se assemelha a uma série geométrica ponderada. Utilizando a propriedade da soma de séries geométricas, a soma converge para:
lang<= E rang<= = h ve^h vkB T - 1

Resposta

A média da energia lang<= E rang<= é:
  • (a) Para energia contínua: lang<= E rang<= = kB T
  • (b) Para energia discreta: lang<= E rang<= = h ve^h vkB T - 1

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