Encontre a média da energia
para uma distribuição de Boltzmann
nas condições. (a) energia contínua e (b) energia discreta da forma
com
indo de 0 a infinito.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a média da energia
usando a distribuição de Boltzmann, que é
. Vamos precisar entender conceitos de estatística térmica, especificamente como calcular médias usando distribuições de probabilidade. Vamos dividir a resolução em duas partes: (a) quando a energia é contínua e (b) quando a energia é discreta, assumindo que
com
de 0 a infinito.
Passo 2
Parte (a) – Energia Contínua
Primeiro, vamos lidar com a energia contínua. A média da energia
é calculada integrando a energia multiplicada pela distribuição de probabilidade sobre todas as energias possíveis. Ou seja,
Substituindo
na integral, temos:
Passo 3
Para resolver essa integral, reconhecemos que ela representa a média de uma distribuição exponencial. Sabemos que para uma distribuição exponencial da forma
, a média é
. No nosso caso,
. Portanto,
Passo 4
Parte (b) – Energia Discreta
Agora, vamos considerar a energia discreta, onde
com
indo de 0 a infinito. Aqui, a média da energia é calculada como uma soma sobre todos os estados possíveis:
Sabendo que
e substituindo na soma, temos:
Passo 5
Para resolver essa soma infinita, reconhecemos que ela se assemelha a uma série geométrica ponderada. Utilizando a propriedade da soma de séries geométricas, a soma converge para:
Resposta
A média da energia
é:
- (a) Para energia contínua:
- (b) Para energia discreta: