Ondas senoidais de amplitude de 5,00 cm devem ser transmitidas ao longo de uma corda que tenha uma densidade de massa linear igual a 4,00 times 10^-2 kg / m. Se a fonte puder fornecer uma potência máxima de 300 W e a corda estiver sob uma tensão de 100 N , qual é a frequência vibratória mais elevada na qual a fonte pode operar?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem ondas senoidais com amplitude de 5,00 cm passando por uma corda com densidade linear de massa 4,00 times 10^-2, kg/m. A fonte pode fornecer até 300 W de potência e a corda está sob uma tensão de 100 N. A pergunta é: qual é a frequência vibratória mais alta que a fonte pode operar?
Aqui, estamos lidando com ondas mecânicas em uma corda, e vamos precisar usar conceitos de física sobre potência transmitida por ondas, velocidade da onda e relações entre frequência, amplitude e tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a velocidade de uma onda em uma corda. A velocidade v é dada por:
v = raizTmu
onde:
  • T é a tensão na corda (100 N),
  • mu é a densidade linear de massa ( 4,00 times 10^-2, kg/m).
Vamos calcular v:
v = raiz100, N4,00 times 10^-2, kg/m = raiz1000,04 = raiz2500 = 50, m/s

Passo 3

Agora, vamos relacionar a potência transmitida pela onda com a amplitude, a frequência e a velocidade da onda. A fórmula para a potência P de uma onda senoidal em uma corda é:
P = 12 mu omega^2 A^2 v
onde:
  • omega é a frequência angular ( omega = 2pi f),
  • A é a amplitude (5,00 cm = 0,05 m),
  • v é a velocidade da onda (50 m/s).
Queremos encontrar a frequência máxima f, então precisamos isolar f nessa equação.

Passo 4

Vamos substituir omega por 2pi f na equação da potência:
P = 12 mu (2pi f)^2 A^2 v
Simplificando:
P = 12 mu (4pi^2 f^2) A^2 v = 2pi^2 mu f^2 A^2 v
Agora, isolamos f^2:
f^2 = P2pi^2 mu A^2 v
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar f:
f = raizP2pi^2 mu A^2 v

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
P = 300, W, mu = 4,00 times 10^-2, kg/m, A = 0,05, m, v = 50, m/s
Substituindo na equação:
f = raiz3002pi^2 times 4,00 times 10^-2 times (0,05)^2 times 50
Vamos calcular o denominador passo a passo:
2pi^2 approx 19,7392
19,7392 times 4,00 times 10^-2 = 0,789568
(0,05)^2 = 0,0025
0,789568 times 0,0025 = 0,00197392
0,00197392 times 50 = 0,098696
Agora, a expressão fica:
f = raiz3000,098696 approx raiz3038,2 approx 55,15, Hz

Resposta

A frequência vibratória mais elevada na qual a fonte pode operar é aproximadamente 55,15 Hz.

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