Ondas senoidais de amplitude de
devem ser transmitidas ao longo de uma corda que tenha uma densidade de massa linear igual a
. Se a fonte puder fornecer uma potência máxima de 300 W e a corda estiver sob uma tensão de 100 N , qual é a frequência vibratória mais elevada na qual a fonte pode operar?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem ondas senoidais com amplitude de 5,00 cm passando por uma corda com densidade linear de massa
. A fonte pode fornecer até 300 W de potência e a corda está sob uma tensão de 100 N. A pergunta é: qual é a frequência vibratória mais alta que a fonte pode operar?
Aqui, estamos lidando com ondas mecânicas em uma corda, e vamos precisar usar conceitos de física sobre potência transmitida por ondas, velocidade da onda e relações entre frequência, amplitude e tensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a velocidade de uma onda em uma corda. A velocidade
é dada por:
onde:
-
é a tensão na corda (100 N), -
é a densidade linear de massa ( ).
Vamos calcular
:
Passo 3
Agora, vamos relacionar a potência transmitida pela onda com a amplitude, a frequência e a velocidade da onda. A fórmula para a potência
de uma onda senoidal em uma corda é:
onde:
-
é a frequência angular ( ), -
é a amplitude (5,00 cm = 0,05 m), -
é a velocidade da onda (50 m/s).
Queremos encontrar a frequência máxima
, então precisamos isolar
nessa equação.
Passo 4
Vamos substituir
por
na equação da potência:
Simplificando:
Agora, isolamos
:
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
Substituindo na equação:
Vamos calcular o denominador passo a passo:
Agora, a expressão fica:
Resposta
A frequência vibratória mais elevada na qual a fonte pode operar é aproximadamente 55,15 Hz.