Encontre o número mais provável de átomos
para cada estado de energia em um sistema de 5 átomos. Cada átomo pode adquirir apenas energias
. O sistema está isolado e permite que trocas de energia ocorram
apenas entre os átomos, mas a energia máxima e total do sistema deve ser
independente da configuração. Considere que a probabilidade de cada configuração seja a mesma no sistema. Mostre que a soma
.
apenas entre os átomos, mas a energia máxima e total do sistema deve ser
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um sistema com 5 átomos, e cada átomo pode ter uma das seguintes energias: 0, E, 2E, 3E ou 4E. A energia total do sistema é sempre 4E, e os átomos podem trocar energia entre si. A probabilidade de cada configuração de energia ser igual. Nosso objetivo é descobrir quantos átomos, em média, têm cada nível de energia (isto é, encontrar
,
,
e
) e mostrar que a soma desses números é igual a 5. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de estatística e como distribuir energia de forma igualitária entre os átomos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas possíveis distribuições de energia entre os 5 átomos que somam 4E. Como a energia máxima que cada átomo pode ter é 4E e a total é 4E, precisamos distribuir esses 4E entre os 5 átomos de todas as maneiras possíveis.
Passo 3
Vamos considerar que cada átomo pode ter 0, E, 2E, 3E ou 4E de energia. Nosso objetivo é encontrar a distribuição mais provável, ou seja, aquela que tem mais configurações possíveis.
Passo 4
Para isso, usamos o conceito de multiplicidade da configuração, que basicamente conta o número de maneiras pelas quais podemos distribuir a energia. A multiplicidade é dada por:
onde
é o número total de átomos.
Passo 5
Como todas as configurações têm a mesma probabilidade, a mais provável será aquela que maximiza a multiplicidade
. Para simplificar, podemos usar logaritmos e derivadas para encontrar os valores de
,
,
e
que maximizam
, respeitando a restrição da energia total.
Passo 6
Impondo a restrição de que a energia total é 4E, temos:
Simplificando:
Passo 7
Também sabemos que o total de átomos é 5:
Passo 8
Para facilitar, assumimos que a maioria dos átomos estará nos estados de energia mais baixos, já que temos uma energia total limitada. Vamos testar uma distribuição onde a maioria está em 0E e 1E.
Passo 9
Após realizar cálculos ou utilizar métodos de maximização, encontramos que a distribuição mais provável é:
Passo 10
Somando esses valores:
No entanto, para totalizar 5 átomos, precisamos ajustar a distribuição considerando que
também conta.
Passo 11
Assim, temos:
E somando:
Resposta
A soma
é igual a 5.