Encontre a média, a mediana e a moda dos dados, se possível. Se quaisquer dessas medidas não puderem ser encontradas ou não representarem o centro dos dados, explique o porquê.
Crime: As respostas de uma amostra de 1.019 pessoas questionadas sobre como se sentem quando pensam em criminalidade.
Despreocupados: 34 Cautelosos: 672
Tensos: 125 Com medo: 188

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar a média, a mediana e a moda dos dados, se possível.
  • Explicar quando alguma dessas medidas não puder ser encontrada ou não for adequada como medida de centro.
Informações fornecidas (frequências; peguei estes números do enunciado):
  • Despreocupados: 34
  • Cautelosos: 672
  • Tensos: 125
  • Com medo: 188
  • Tamanho total da amostra: n=1019 (verifiquei que 34+672+125+188=1019)
Observação importante (não resolvo aqui ainda): os dados são categorias qualitativas que parecem ter uma ordem natural (de “menos preocupado” para “mais preocupado”). Isso afeta quais medidas fazem sentido — vou explicar isso passo a passo.

Passo 2

O que significa cada medida e quando faz sentido usá‑la (aula rápida e prática):
  • Moda: é a categoria com maior frequência absoluta. Funciona para dados categóricos (nominais ou ordinais). É a medida mais simples: a moda representa a resposta mais comum.
  • Mediana: é a observação que fica no meio quando os dados estão ordenados. Para dados em classes/ categorias ordinais, a mediana é a categoria onde cai a observação central (posição \frac{n+1}{2} ou, equivalentemente, a primeira categoria cuja frequência acumulada atinge pelo menos \frac{n}{2}). A mediana só faz sentido se as categorias tiverem uma ordem natural (o que parece ser o caso aqui).
  • Média aritmética: soma dos valores dividida pelo número de observações. Para dados categóricos puros (sem números) a média não é diretamente aplicável. Para dados ordinais pode-se calcular uma “média de escores” se atribuirmos números às categorias (por exemplo 1,2,3,4), mas essa média depende da codificação e da suposição de que os intervalos entre categorias são iguais. Se não houver base para assumir intervalos iguais, a média pode enganar.
Vou então calcular a moda (direto), a mediana (pela posição central em categorias ordenadas) e também mostrar a média sob a hipótese explícita de pontuar as categorias com 1,2,3,4, deixando claro que essa média é dependente dessa escolha.

Passo 3

Cálculo da moda (passo simples e direto):
  • Moda = categoria com maior frequência absoluta.
  • Frequências: Despreocupados 34, Cautelosos 672, Tensos 125, Com medo 188.
  • A maior frequência é 672, correspondente à categoria “Cautelosos”.
    Portanto a moda é “Cautelosos”.

Passo 4

Cálculo da mediana (explicando o método para dados em categorias ordinais):
  • Para encontrar a mediana em uma amostra de tamanho n usamos a posição central \dfrac{n+1}{2} ou observamos a frequência acumulada e achamos a categoria que contém o meio dos dados.
  • Aqui n=1019. A metade das observações é \dfrac{n}{2}=\dfrac{1019}{2}=509{,}5. Ou seja, a observação de posto 510 (ou a categoria que contém a 510ª observação) é o meio.
  • Calcular frequências acumuladas em ordem logicamente crescente de preocupação (assumindo ordem: Despreocupados < Cautelosos < Tensos < Com medo):
    • Acumulada até Despreocupados: 34
    • Acumulada até Cautelosos: 34+672=706
    • Acumulada até Tensos: 706+125=831
    • Acumulada até Com medo: 831+188=1019
  • A posição 510 cai na categoria cuja acumulada ultrapassa 509{,}5. Vemos que a acumulada atinge 706 já na categoria “Cautelosos”, ou seja, a observação central pertence a “Cautelosos”.
    Portanto a mediana é a categoria “Cautelosos”.

Passo 5

Cálculo da média — discussão e cálculo sob hipótese de pontuação:
  • Relembrando: a média exige valores numéricos. Para dados ordinais podemos atribuir escores equidistantes às categorias (por exemplo 1,2,3,4), mas essa atribuição é uma suposição adicional; se os intervalos entre categorias não forem realmente iguais, a média pode não representar corretamente o “centro”.
  • Vou mostrar o cálculo caso aceitemos a codificação natural e equidistante:
    • Atribuir: Despreocupados \mapsto 1, Cautelosos \mapsto 2, Tensos \mapsto 3, Com medo \mapsto 4.
  • Calcular a soma ponderada dos escores: \text{Soma} = 1\cdot 34 + 2\cdot 672 + 3\cdot 125 + 4\cdot 188.Vou calcular passo a passo: 1\cdot 34 = 34, \qquad 2\cdot 672 = 1344,
3\cdot 125 = 375, \qquad 4\cdot 188 = 752.
Somando:
\text{Soma} = 34 + 1344 + 375 + 752 = 2505.
  • A média dos escores é \bar{x}=\frac{\text{Soma}}{n}=\frac{2505}{1019}\approx 2{,}4587.
  • Interpretação numérica: a média de escores fica entre 2 e 3, isto é, entre “Cautelosos” ( 2) e “Tensos” ( 3), mais próxima de “Cautelosos”. Isso indica que, sob a hipótese de escores equidistantes, o centro tende para “Cautelosos”.
  • Porém reforço: essa média numérica depende da escolha dos escores e da suposição de que os níveis são igualmente espaçados; sem essa suposição a média não é uma medida plenamente adequada.

Passo 6

Conclusão interpretativa — quais medidas são mais apropriadas aqui:
  • Moda e mediana são totalmente apropriadas para esses dados ordinais:
    • Moda identifica a categoria mais frequente.
    • Mediana indica qual categoria contém a observação central.
      Ambas apontam para “Cautelosos”, o que é coerente: a maior parte das pessoas se sente cautelosa.
  • A média (métrica) só é aconselhável se houver uma escala numérica válida com intervalos iguais entre categorias. Se for aceitável usar a codificação 1,2,3,4, a média calculada é \approx 2{,}4587. Mas essa média deve ser interpretada com cuidado, pois é uma média de escores atribuídos, não uma média direta de medidas numéricas naturalmente dadas.

Resposta

Média: não é intrinsecamente adequada para categorias sem escala numérica; se atribuirmos escores 1,2,3,4 então \bar{x}=\dfrac{2505}{1019}\approx 2{,}4587.
Mediana: Cautelosos.
Moda: Cautelosos.

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