Encontre a média, a mediana e a moda dos dados, se possível. Se quaisquer dessas medidas não puderem ser encontradas ou não representarem o centro dos dados, explique o porquê.
Carros esportivos: O tempo (em segundos) para uma amostra de sete carros esportivos para ir de 0 a 60 milhas por hora.
\begin{array}{ccccccc} 3,7 & 4,0 & 4,8 & 4,8 & 4,8 & 4,8 & 5,1 \end{array}

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de sete tempos (em segundos) para carros esportivos irem de 0 a 60 mph:
3,7,\;4,0,\;4,8,\;4,8,\;4,8,\;4,8,\;5,1
O que é pedido:
  • A média aritmética dos tempos.
  • A mediana dos tempos.
  • A moda dos tempos.
    Vou trabalhar com estes sete valores tal como estão.

Passo 2

Média — definição e fórmula (aula rápida e prática).
  • Conceito: a média aritmética é o valor obtido somando todos os dados e dividindo pelo número de observações; dá uma ideia do “valor médio” da amostra, mas é sensível a valores muito altos ou muito baixos.
  • Fórmula: seja n o número de observações e x_1,x_2,\dots,x_n os valores. A média é
\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o tamanho da amostra e x_i são os valores individuais.
Aplicando aos nossos dados: n=7 e os x_i são os sete tempos. Primeiro somo os valores:
3,7+4,0+4,8+4,8+4,8+4,8+5,1=32,0.
Agora divido pela quantidade n=7:
\bar{x}=\dfrac{32,0}{7}=\dfrac{32}{7}\approx4,57142857\ldots
Para leitura prática, arredondo para três casas decimais: \bar{x}\approx4,571. Lembrete: a média existe sempre neste caso porque temos valores numéricos e um número finito de observações.

Passo 3

Mediana — definição e cálculo (passo a passo).
  • Conceito: mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados ordenados; é menos sensível a valores extremos.
  • Procedimento:
    1. Ordenar os dados em ordem crescente. Aqui os dados já estão ordenados:
    3,7,\;4,0,\;4,8,\;4,8,\;4,8,\;4,8,\;5,1.
    1. Como n=7 é ímpar, a mediana é o valor da posição \dfrac{n+1}{2}. Calculando a posição:
    \dfrac{n+1}{2}=\dfrac{7+1}{2}=\dfrac{8}{2}=4.Então a mediana é o quarto valor da lista ordenada. O quarto valor é 4,8.
  • Conclusão: a mediana é 4,8.

Passo 4

Moda — definição e cálculo (passo a passo).
  • Conceito: moda é o valor que ocorre com maior frequência na amostra. Pode não existir (se todos os valores diferentes ocorrerem a mesma frequência) ou pode haver mais de uma moda (bimodal, multimodal).
  • Contagem das ocorrências nos dados:
    • 3,7 aparece 1 vez.
    • 4,0 aparece 1 vez.
    • 4,8 aparece 4 vezes.
    • 5,1 aparece 1 vez.
  • O valor com maior frequência é 4,8 (aparece 4 vezes). Não há empate com outra frequência maior.
  • Conclusão: a moda é 4,8.

Passo 5

Interpretação conjunta e qual medida melhor representa o “centro” aqui.
  • Valores encontrados:
    • Média: \bar{x}=\dfrac{32}{7}\approx4,571.
    • Mediana: 4,8.
    • Moda: 4,8.
  • Observação sobre diferenças: a média ( \approx4,571) é menor que a mediana/moda ( 4,8). Isso ocorre porque há alguns tempos mais baixos ( 3,7 e 4,0) que puxam a média para baixo; a mediana e a moda permanecem em 4,8 porque a maioria dos carros (4 de 7) tem exatamente esse tempo.
  • Qual usar na prova ou para descrever “carro típico”? Como a distribuição tem uma concentração em 4,8 e alguns valores mais baixos, a mediana e especialmente a moda (que é o valor observado com maior frequência) representam melhor o “tempo típico” de 0 a 60 mph nesta amostra. A média é útil e existe, mas é mais afetada pelos poucos carros mais rápidos.
  • Todas as medidas foram encontradas e são válidas; nenhuma delas é impossível de calcular neste conjunto.

Resposta

\bar{x}=\dfrac{32}{7}\approx4,571
Mediana =4,8
Moda =4,8

Exercícios relacionados