Encontre por meio de série de potências, a solução da EDO
em torno do ponto ordinário
. (Os 4 primeiros termos de cada uma da soluções
e
são suficientes)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede: encontrar, por meio de série de potências em torno do ponto ordinário
, duas soluções independentes
e
. São suficientes os quatro primeiros termos (no sentido de potências crescentes de
) de cada solução.
Informações relevantes que temos:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em
(logo é ponto ordinário). - A solução geral é combinação linear de duas soluções independentes; na série de potências isso aparece como duas constantes livres, que costumam ser os coeficientes iniciais
e . - Precisamos obter os coeficientes da série até os termos necessários para listar quatro termos de cada solução.
Passo 2
Vamos procurar uma solução na forma de série de potências centrada em
. Assumimos
onde cada
é um coeficiente desconhecido e essa soma converge num raio positivo (o que acontece aqui). Agora calculamos as derivadas termo a termo:
Também precisamos escrever
na forma de potências de
. Usando a expressão de
:
onde na última igualdade fizemos a mudança de índice
(ou seja, renomeando índices chegamos à forma com potência
).
Passo 3
Substituindo
e
na EDO, obtemos
Agora alinhamos as somas para comparar coeficientes de
. Separe o caso
e depois trate
.
Para
: do primeiro e do terceiro somatório vem
Para
: coletando os coeficientes de
obtemos
Agrupando os termos em
:
Como
para
, podemos simplificar:
Note que essa relação vale já para
também (dá
, consistente com o caso separado). Portanto a recorrência geral é
Passo 4
Interpretação prática da recorrência: ela liga coeficientes de mesma paridade. Assim a sequência dos
pares depende de
e a dos ímpares depende de
. Vamos calcular explicitamente os primeiros coeficientes em termos de
e
.
Para os termos pares:
(Para ver o padrão:
.)
Para os termos ímpares:
(Para ver o padrão:
, pois
.)
Passo 5
Agora escolhemos as duas soluções fundamentais correspondentes às condições iniciais canônicas:
- Solução
com e (a solução par).
Usando os coeficientes calculados:
- Solução
com e (a solução ímpar).
Usando os coeficientes ímpares:
Esses são os quatro primeiros termos (até
em
e até
em
, ou seja, as quatro primeiras potências não nulas de cada solução).
Passo 6
Para consolidar a compreensão, aqui estão as fórmulas gerais dos coeficientes (úteis se quiseram mais termos):
onde
denota produto dos ímpares até
(com
por convenção). Assim a solução geral é
Força aí — com a recorrência fica fácil gerar tantos termos quanto precisar para a prova!