Dadas as funções f, determine o gradiente e a taxa de variação de f no ponto P na direção do vetor v.
f(x, y, z)=y e^{3 x z}, P(1,1,2), v=(2,-2,1).

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x,y,z)=y e^{3 x z}.
  • O ponto P=(1,1,2).
  • O vetor de direção v=(2,-2,1).
O que pede:
  1. Determinar o gradiente de f (isto é, \nabla f) e avaliá-lo em P.
  2. Determinar a taxa de variação (derivada direcional) de f no ponto P na direção do vetor v.

Passo 2

Conceitos importantes (explicados de maneira prática):
  • O gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y},\\ \frac{\partial f}{\partial z}\right).
Cada componente diz como f muda quando se mexe só naquela coordenada, mantendo as outras fixas.
  • A derivada direcional de f no ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
ou seja, o produto escalar entre o gradiente em P e a direção unitária. Se o vetor dado for v não-unitário, primeiro normaliza-se: \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais simbólicas de f(x,y,z)=y e^{3 x z}. Usamos a regra da cadeia quando derivamos o expoente 3xz.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = y \cdot \frac{d}{dx}\bigl(e^{3xz}\bigr) = y \cdot e^{3xz}\cdot \frac{d}{dx}(3xz) = y\cdot e^{3xz}\cdot 3z =3z\,y\,e^{3xz}.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{3xz},
pois e^{3xz} é apenas multiplicador de y.
  • Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z} = y \cdot e^{3xz}\cdot \frac{d}{dz}(3xz) = y\cdot e^{3xz}\cdot 3x =3x\,y\,e^{3xz}.
Portanto, o gradiente simbólico é
\nabla f(x,y,z)=\bigl(3z\,y\,e^{3xz},\\ e^{3xz},\\\ 3x\,y\,e^{3xz}\bigr).

Passo 4

Agora avalio o gradiente em P=(1,1,2). Primeiro calcule o expoente em P:
3 x z \big|_{P}=3\cdot 1\cdot 2=6,
logo e^{3xz}\big|_{P}=e^{6}.
Substituindo x=1, y=1, z=2 nas componentes:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{P}=3\cdot 2\cdot 1\cdot e^{6}=6e^{6},
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{P}=e^{6},
\frac{\partial f}{\partial z}\Big|_{P}=3\cdot 1\cdot 1\cdot e^{6}=3e^{6}.
Portanto
\nabla f(P)=\bigl(6e^{6},\\ e^{6},\\\ 3e^{6}\bigr).

Passo 5

Calcular a derivada direcional em direção a v=(2,-2,1). Primeiro obtenho o vetor unitário na direção de v.
Norma de v:
\|v\|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.
Logo o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{v}{\|v\|}=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right).

Passo 6

Aplicar a fórmula da derivada direcional:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Faço o produto escalar passo a passo:
\nabla f(P)\cdot \mathbf{u} = \bigl(6e^{6},e^{6},3e^{6}\bigr)\cdot\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right).
Factorizando e^{6} e calculando os coeficientes:
= e^{6}\left(6\cdot\frac{2}{3}+1\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)+3\cdot\frac{1}{3}\right).
Calculo interno:
6\cdot\frac{2}{3}=\frac{12}{3}=4,\quad -\frac{2}{3}=\!-\frac{2}{3},\quad 3\cdot\frac{1}{3}=1.
Somando:
4-\frac{2}{3}+1=5-\frac{2}{3}=\frac{15-2}{3}=\frac{13}{3}.
Portanto
D_{\mathbf{u}}f(P)=\frac{13}{3}\,e^{6}.

Passo 7

Interpretação rápida (motivacional): o gradiente em P aponta na direção de maior crescimento local de f e tem norma \|\nabla f(P)\|=e^{6}\sqrt{6^{2}+1^{2}+3^{2}}=e^{6}\sqrt{36+1+9}=e^{6}\sqrt{46}. A derivada direcional \dfrac{13}{3}e^{6} é a taxa instantânea de variação de f em P ao mover-se com velocidade unitária na direção do vetor v.

Resposta

\nabla f(P)=\bigl(6e^{6},\\ e^{6},\\\ 3e^{6}\bigr)
D_{v}f(P)=\dfrac{13}{3}\,e^{6}

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