Cada componente diz como f muda quando se mexe só naquela coordenada, mantendo as outras fixas.
A derivada direcional de f no ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
ou seja, o produto escalar entre o gradiente em P e a direção unitária. Se o vetor dado for v não-unitário, primeiro normaliza-se: \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais simbólicas de f(x,y,z)=y e^{3 x z}. Usamos a regra da cadeia quando derivamos o expoente 3xz.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = y \cdot \frac{d}{dx}\bigl(e^{3xz}\bigr) = y \cdot e^{3xz}\cdot \frac{d}{dx}(3xz) = y\cdot e^{3xz}\cdot 3z =3z\,y\,e^{3xz}.
Interpretação rápida (motivacional): o gradiente em P aponta na direção de maior crescimento local de f e tem norma \|\nabla f(P)\|=e^{6}\sqrt{6^{2}+1^{2}+3^{2}}=e^{6}\sqrt{36+1+9}=e^{6}\sqrt{46}. A derivada direcional \dfrac{13}{3}e^{6} é a taxa instantânea de variação de f em P ao mover-se com velocidade unitária na direção do vetor v.