Dadas as funções f, determine o gradiente e a taxa de variação de f no ponto P na direção do vetor v.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y}, P(1,3), v=(2,3).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a função \,f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y}.
  • Ponto P=(1,3).
  • Vetor de direção v=(2,3).
    O enunciado pede:
  • O gradiente de f (isto é, \nabla f) avaliado no ponto P.
  • A taxa de variação de f no ponto P na direção do vetor v (isto é, a derivada direcional de f em P ao longo de v).

Passo 2

Conceito de gradiente e derivadas parciais (mini-aula):
  • O gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f quando só x varia e y fica fixo; análogo para \frac{\partial f}{\partial y}.
  • Para derivada direcional é preciso usar um vetor unitário \,u na direção desejada; a derivada direcional de f em P na direção u vale
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u,
ou seja, produto escalar entre o gradiente em P e o vetor unitário u. É importante usar vetor unitário porque queremos taxa por unidade de comprimento.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de f(x,y)= (x^{2}+y)^{1/2}:
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{1}{2}(x^{2}+y)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y}}.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{1}{2}(x^{2}+y)^{-1/2}\cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y}}.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto P=(1,3):
  • Primeiro calcule \sqrt{x^{2}+y} em P:
\sqrt{1^{2}+3}=\sqrt{4}=2.
  • Então
\frac{\partial f}{\partial x}(1,3)=\frac{1}{2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,3)=\frac{1}{4}.
Portanto o gradiente em P é
\displaystyle \nabla f(1,3)=\left(\frac{1}{2},\;\frac{1}{4}\right).

Passo 5

Preparar a direção: converter v=(2,3) em vetor unitário u:
  • Norma de v:
\|v\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}.
  • O vetor unitário na direção de v é
u=\frac{v}{\|v\|}=\left(\frac{2}{\sqrt{13}},\;\frac{3}{\sqrt{13}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional em P como produto escalar \nabla f(1,3)\cdot u:
D_{u}f(1,3) =\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}}\right).
Calcule termo a termo:
\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{13}}, \qquad \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3}{4\sqrt{13}}.
Somando:
D_{u}f(1,3)=\frac{1}{\sqrt{13}}+\frac{3}{4\sqrt{13}}=\frac{1+\tfrac{3}{4}}{\sqrt{13}}=\frac{7}{4\sqrt{13}}.

Passo 7

Interpretação e número aproximado (para intuição):
  • O gradiente \nabla f(1,3)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right) aponta na direção de maior aumento de f em P e suas componentes são as taxas de variação em x e y.
  • A derivada direcional D_{u}f(1,3)=\dfrac{7}{4\sqrt{13}} é a taxa de variação de f em P por unidade de comprimento ao longo da direção de v. Numericamente,
\frac{7}{4\sqrt{13}}\approx 0{,}486.

Resposta

\nabla f(1,3)=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right)
D_{v}f(1,3)=\dfrac{7}{4\sqrt{13}}

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