Dadas as funções
, determine o gradiente e a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
.
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a função
. - Ponto
. - Vetor de direção
.
O enunciado pede: - O gradiente de
(isto é, ) avaliado no ponto . - A taxa de variação de
no ponto na direção do vetor (isto é, a derivada direcional de em ao longo de ).
Passo 2
Conceito de gradiente e derivadas parciais (mini-aula):
- O gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais de :
- A derivada parcial
mede a taxa de variação de quando só varia e fica fixo; análogo para . - Para derivada direcional é preciso usar um vetor unitário
na direção desejada; a derivada direcional de em na direção vale
ou seja, produto escalar entre o gradiente em
e o vetor unitário
. É importante usar vetor unitário porque queremos taxa por unidade de comprimento.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
:
- Primeiro calcule
em :
- Então
Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Preparar a direção: converter
em vetor unitário
:
- Norma de
:
- O vetor unitário na direção de
é
Passo 6
Calcular a derivada direcional em
como produto escalar
:
Calcule termo a termo:
Somando:
Passo 7
Interpretação e número aproximado (para intuição):
- O gradiente
aponta na direção de maior aumento de em e suas componentes são as taxas de variação em e . - A derivada direcional
é a taxa de variação de em por unidade de comprimento ao longo da direção de . Numericamente,