Encontre as menores frequência angulares ( Omega ) para as quais os sinais senoidais de tempo discreto com os seguintes períodos fundamentais são periódicos:
(a) N=8

Passo 1

O enunciado pede as frequências angulares Omega para que o sinal discreto
x[n]=sin(Omega n)
seja periódico com período fundamental N=8.
Em sinais discretos, uma senoide x[n]=sin(Omega n) é periódica se existir um inteiro N>0 tal que
Omega N = 2pi p,
com pinZ. Nesse caso o período fundamental (o menor N>0 que satisfaz) é o denominador da fração Omega2pi em forma irreduzível.

Passo 2

Escrevendo a condição de periodicidade para N=8, temos
Omegacdot 8 = 2pi,p Longrightarrow Omega = 2pi,p8 = pi,p4,
com p inteiro.

Passo 3

Para que o período fundamental seja exatamente 8, o inteiro p deve ser relativamente primo a 8. Os valores de p em 1,2,3,4,5,6,7 que são coprimos a 8 são
p=1,;3,;5,;7

Passo 4

Logo, as menores frequências angulares positivas Omega no intervalo [0,2pi) que geram período fundamental 8 são
Omega = pi4,;3pi4,;5pi4,;7pi4
Destas, a menor (primeira) é
boxedOmega = pi4 rad/amostra

Resposta

Omega = pi/4 (e, em geral, Omega = pi p/4 com p=1,3,5,7 para período fundamental 8).

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