Encontre as menores frequência angulares ( Omega ) para as quais os sinais senoidais de tempo discreto com os seguintes períodos fundamentais são periódicos:
(b) N=32

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as menores frequências angulares Omega tais que o sinal discreto
x[n]=sin(Omega n)
seja periódico com período fundamental N=32.
O conteúdo usado será a condição de periodicidade de um sinal discreto:
x[n+N]=x[n]forall n

Passo 2

Impondo x[n+32]=x[n] temos
sinl(Omega(n+32)r) =sin(Omega n)cos(32Omega)+cos(Omega n)sin(32Omega) =sin(Omega n)
Para isso valer para todo n, é necessário
cos(32Omega)=1 e sin(32Omega)=0,
o que equivale a
32,Omega = 2pi m, minZ

Passo 3

Da igualdade acima isolamos Omega:
Omega = 2pi m32 = pi m16,
com m inteiro.

Passo 4

As soluções positivas distintas em (0,2pi) são obtidas para m=1,2,dots,31, isto é,
Omega = pi16,;2pi16,;3pi16,dots,;31pi16
A menor frequência angular positiva é
boxedOmegamin=pi16

Resposta

Omega = 2pi m32 = pi m16,;minZ
A menor frequência angular positiva é Omegamin=pi/16.

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