Encontre a negação das seguintes expressões quantificadas e escreva em português:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a negação da expressão quantificada dada e (2) escrever essa negação em português. A expressão fornecida é
. Não foi especificado o universo das variáveis, então tratamos a fórmula de forma geral (valendo para o universo que o problema considerar).
Passo 2
Vamos lembrar a regra básica para negar quantificadores (essa é a ferramenta principal que você precisa dominar para este tipo de exercício). As regras são:
Em palavras: a negação de “para todo x, P(x)” é “existe um x tal que não P(x)”; e a negação de “existe um x tal que P(x)” é “para todo x, não P(x)”.
Passo 3
Aplicamos a regra de negação passo a passo à expressão
. Primeiro negamos o quantificador externo
:
Usei a primeira regra:
, com
sendo
.
Passo 4
Agora negamos o quantificador interno
. Pelo segundo item das regras:
Portanto, substituindo na transformação anterior, obtemos:
Passo 5
Simplificamos a negação da fórmula interna
. A negação de uma igualdade é a desigualdade:
Substituindo isso na forma final obtemos a expressão simbólica simplificada:
Passo 6
Agora vamos traduzir para português, do jeito direto e claro (primeiro a fórmula original, para fixar, e depois a negação). A tradução direta da fórmula original é: “Para todo
existe um
tal que
.”
Passo 7
A tradução em português da negação que encontramos é: “Existe um
tal que, para todo
,
.” Em linguagem mais natural: “Há pelo menos um valor de
para o qual nenhum
faz
.”
Resposta
Existe um