Encontre a negação das seguintes expressões quantificadas e escreva em português:
\forall x \exists y(x+y=x)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a negação da expressão quantificada dada e (2) escrever essa negação em português. A expressão fornecida é \forall x \exists y (x+y=x). Não foi especificado o universo das variáveis, então tratamos a fórmula de forma geral (valendo para o universo que o problema considerar).

Passo 2

Vamos lembrar a regra básica para negar quantificadores (essa é a ferramenta principal que você precisa dominar para este tipo de exercício). As regras são:
\neg(\forall x\, P(x)) \equiv \exists x\, \neg P(x)
\neg(\exists x\, P(x)) \equiv \forall x\, \neg P(x)
Em palavras: a negação de “para todo x, P(x)” é “existe um x tal que não P(x)”; e a negação de “existe um x tal que P(x)” é “para todo x, não P(x)”.

Passo 3

Aplicamos a regra de negação passo a passo à expressão \forall x \exists y (x+y=x). Primeiro negamos o quantificador externo \forall x:
\neg\big(\forall x \exists y (x+y=x)\big) \equiv \exists x \; \neg\big(\exists y (x+y=x)\big).
Usei a primeira regra: \neg(\forall x\, Q(x)) \equiv \exists x\, \neg Q(x), com Q(x) sendo \exists y (x+y=x).

Passo 4

Agora negamos o quantificador interno \exists y. Pelo segundo item das regras:
\neg\big(\exists y (x+y=x)\big) \equiv \forall y \; \neg(x+y=x).
Portanto, substituindo na transformação anterior, obtemos:
\neg\big(\forall x \exists y (x+y=x)\big) \equiv \exists x \forall y \; \neg(x+y=x).

Passo 5

Simplificamos a negação da fórmula interna \neg(x+y=x). A negação de uma igualdade é a desigualdade:
\neg(x+y=x) \equiv (x+y \neq x).
Substituindo isso na forma final obtemos a expressão simbólica simplificada:
\neg\big(\forall x \exists y (x+y=x)\big) \equiv \exists x \forall y (x+y \neq x).

Passo 6

Agora vamos traduzir para português, do jeito direto e claro (primeiro a fórmula original, para fixar, e depois a negação). A tradução direta da fórmula original é: “Para todo x existe um y tal que x+y = x.”

Passo 7

A tradução em português da negação que encontramos é: “Existe um x tal que, para todo y, x+y \neq x.” Em linguagem mais natural: “Há pelo menos um valor de x para o qual nenhum y faz x+y=x.”

Resposta

\exists x \forall y (x+y \neq x)
Existe um x tal que, para todo y, x+y \neq x.

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